Математическая модель бронхиального дерева с альвеолами. осаждения антропогенных частиц в легких

В математическую модель бронхиального дерева, разработанную авторами, включены альвеолярные мешочки. Альвеолярные мешочки начинают появляться на бронхиальном дереве человека начиная с 15-й генерации бронхов. Их количество расчет в геометрической прогрессии при движении вниз по бронхиальному дереву, достигая максимума на терминальных бронхах. Общее количество мешочков более 500 миллионов. Физиология дыхания человека ставит ряд условий на математическую модель альвеолярного дыхания. Это условия - равномерная вентиляция альвеол и минимальная работа, связанная с дыханием. Поэтому в модели должно выполняться условие равенства давления во всех 500 миллионах альвеолярных мешочков. Исходя из этих условий построена модель альвеолярного вдоха человека. Альвеолярное давление при вдохе, определенное в модели, меньше атмосферного, что согласуется с физиологическими данными.
На основе данной модели выполнены расчеты осаждения антропогенных частиц (цементной пыли и сажи) в легких, что позволяет оценить риски на респираторную систему. Показано, что снижение скорости воздушного потока (уменьшение вдыхаемого расхода воздуха) способствует увеличению осаждения частиц в верхних отделах легких. Увеличение расхода вдыхаемого воздуха уменьшает осаждение частиц, но при этом частицы "загоняются" в нижние отделы легких. Плотность частиц оказывает незначительное влияние на их осаждение по сравнению с размером частиц и скоростью воздушного потока.

Ключевые слова

начально-краевые задачи; связные графы; собственные числа и собственные функции операторов; дискретные и полуограниченные операторы; метод Галеркина; метод регуляризованных следов.

Литература

1. Трусов, П.В. Моделирование течения воздуха в упруго-деформируемой пористой среде, аппроксимирующей легкие человека: структура модели, ее основные уравнения и разрешающие соотношения / П.В. Трусов, Н.В. Зайцева, М.Ю. Цинкер, В.В. Нурисламов // Вычислительная механика сплошных сред. - 2024. - Т. 17, № 2. - С. 219-231.
2. Weibel, E.R. Design of Peripheral Airways for Efficient Gas Exchange / E.R. Weibel, B. Sapoval, M. Filoche // Respiratory Physiology and Neurobiology. - 2005. - V. 148, № 1-2. - P. 3-21.
3. Pain, S. Marathon Madness / S. Pain // New Scientist. - 2004. - V. 2459, № 7. - URL: https://www.newscientist.com/article/mg18324595-900-marathon-madness/ (дата обращения 10.11.2025).
4. Seadler, B.D. Physiology, Alveolar Tension / B.D. Seadler, F. Toro, S. Sharma. - Orlando: StatPearls Publishing, 2025.
5. Medvedev, A.E. Analytical Design of the Human Bronchial Tree for Healthy Patients and Patients with Obstructive Pulmonary Diseases / A.E. Medvedev, P.S. Gafurova // Mathematical Biology and Bioinformatics. - 2019. - V. 14, № 2. - P. 635-648.
6. Medvedev, A.E. Three-Dimensional Model of the Human Bronchial Tree-Modeling of the Air Flow in Normal and Pathological Cases / A.E. Medvedev, V.M. Fomin, P.S. Gafurova // Journal of Applied Mechanics and Technical Physics. - 2020. - V. 61, № 1. - P. 1-13.
7. Medvedev, A.E. Three-Dimensional Simulation of Heat and Moisture Transfer in the Human Bronchial Tree / A.E. Medvedev, P.S. Golysheva // Journal of Siberian Federal University. Mathematics and Physics. - 2024. - V. 17, № 1. - P. 136-145.
8. Овсянников, Р.Ю. Физика и физиология вентиляционно-перфузионного сопряжения: обоснование и начальный опыт выбора конечно-экспираторного давления при механической вентиляции легких / Р.Ю. Овсянников, Т.А. Громова, В.А. Молошнева, А.Н. Коваленко, К.М. Лебединский // Журнал технической физики. - 2022. - Т. 92, № 7. - С. 1004-1017.
9. Каюмова, А.Ф. Физиология системы дыхания: учебное пособие / А.Ф. Каюмова, И.Р. Габдулхакова, А.Р. Шамратова, Г.Е. Инсарова. - Уфа: Издательство ФГБОУ ВО БГМУ Минздрава России, 2016.
10. Холл, Дж.Э. Медицинская физиология по Гайтону и Холлу / Дж.Э. Холл. - М.: Логосфера, 2018.
11. Голышева, П.С. Математическое моделирование осаждения антропогенных и лекарственных частиц в бронхиальном дереве человека с учетом геометрии дыхательных путей / П.С. Голышева, А.Е. Медведев // Инженерно-физический журнал. - 2025. - Т. 98, № 7. - С. 1906-1912.
12. Air Now. - 2025. - URL: https://www.airnow.gov/ (дата обращения 10.11.2025)
13. Макоско, А.А. Загрязнение атмосферы и качество жизни населения в XXI веке: угрозы и перспективы / А.А. Макоско, А.В. Матешева. - М.: Издательство РАН, 2020.
14. Trusov, P.V. Mathematical Model of Airflow and Solid Particles Transport in the Human Nasal Cavity / P.V. Trusov, N.V. Zaitseva, M.Yu. Tsinker, A.V. Nekrasova // Mathematical Biology and Bioinformatics. - 2021. - V. 16, № 2. - P. 349-366.