Особенности исследования асимптотических свойств и успокоения некоторых систем с линейным запаздыванием

В работе предложены методы получения достаточных условий асимптотической устойчивости и неустойчивости для систем дифференциальных уравнений, содержащих линейное запаздывание. Заменой аргумента такие системы сводятся к системам с постоянным запаздыванием, которые, однако содержат экспоненциальный множитель в правой части, то есть не являются липшицевыми. На основании этих условий исследуются некоторые системы линейных дифференциальных уравнений, при этом для одной из них предложен алгоритм стабилизации на бесконечном промежутке времени. Показано, что подобные достаточные условия справедливы и для сингулярно возмущенных систем с постоянным запаздыванием и с малым параметром при производной. На основании полученных условий асимптотической устойчивости предложен алгоритм стабилизации некоторых систем с линейным запаздыванием. Этот алгоритм может быть использован и при успокоении исследуемых сингулярных систем. получены достаточные условия асимптотической устойчивости для систем дифференциальных уравнений, содержащих линейное запаздывание. Системы подобного вида встречаются в задачах механики, физики, биологии, экономики, теории очередей. На основании полученных авторами условий устойчивости и неустойчивости исследуется асимптотическое поведение некоторых систем линейных дифференциальных уравнений, при этом для одной из них произведена стабилизация на бесконечном промежутке времени.

Ключевые слова

неустойчивость; асимптотическая устойчивость; экспоненциальная оценка; первое приближение; стабилизация.

Литература

1. Гребенщиков, Б.Г. Устойчивость систем с переменным запаздыванием, линейно зависящим от времени / Б.Г. Гребенщиков // Устойчивость и нелинейные колебания. - Свердловск: Уральский университет, 1983. - С. 25-34.
2. Фурасов, В.Д. Устойчивость движения, оценки и стабилизация / В.Д. Фурасов. - М.: Наука, 1977.
3. Гребенщиков, Б.Г. О стабилизации стационарных линейных систем с запаздыванием, линейно зависящим от времени / Б.Г. Гребенщиков // Известия вузов. Математика. - 1991. - Т. 35, № 7. - С. 65-67.
4. Фурасов, В.Д. Устойчивость и стабилизация дискретных процессов / В.Д. Фурасов. - М.: Наука, 1982.
5. Репин, Ю.М. Об условиях устойчивости систем линейных дифференциальных уравнений при любых запаздываниях / Ю.М. Репин // Ученые записки Уральского университета. - 1960. - Вып. 23. - С. 31-34.
6. Krasovskii, N.N. Stability of Motion. Applications of Lyapunov's Second Method to Differential Systems and Equations with Delay / N.N. Krasovskii. - Redwood City: Standford University Press, 1963.
7. Колмановский, В.Б. Устойчивость и периодические режимы регулируемых систем с последействием / В.Б. Колмановский, В.Р. Носов. - М.: Наука, 1981.
8. Halanau, A. Teoria Calitativa a Sistemelor cu Impulsuri / A. Halanau, D. Wexler. - Bucarest: Editura Academiei Republiciti Socialiste, 1968.
9. Гребенщиков, Б.Г. Об устойчивости по первому приближению систем с запаздыванием, линейно зависящим от времени / Б.Г. Гребенщиков // Дифференциальные уравнения. - 1990. - Т. 26, № 2. - С. 214-218.
10. Матвеева, И.И. Об экспоненциальной устойчивости решений периодических систем нейтрального типа с несколькими запаздываниями / И.И. Матвеева // Дифференциальные уравнения. - 2017. - Т. 53, № 6. - C. 730-740.