Inverse Problem of Identification of Fluxes in Layered Media

В статье рассматриваются параболическое уравнение второго порядка и вопросы корректности обратных задач восстановления теплового потока на границе с использованием набора значений решения в фиксированных точках на границе области. Условия типа дифракции используются на границе раздела сред. Граничные условия нелинейные и поток представим в виде конечного отрезка ряда с неизвестными коэффициентами зависящими от времени. При определенных условиях на данные доказывается что существует единственное решение задачи локально по времени, которое зависи от данных задачи непрерывно. При определенных условиях на данные показано, что существует единственное решение задачи, которое непрерывно зависит от данных. Решение имеет все обобщенные производные, входящие в уравнение, суммируемые c некоторой степенью. Доказательство опирается на априорные оценки и принцип сжимающих отображений. Метод конструктивен и позволяет строить численные методы решения задачи. Численный алгоритм основан на методах конечных элементов и конечных разностей. Результаты численных экспериментов вполне удовлетворительны, а процедура построения решения устойчива при малых возмущениях.

Ключевые слова

обратная задача; граничный режим; параболическое уравнение; тепломассоперенос.

Литература

1. Алифанов, О.М. Обратные задачи исследования сложной теплопередачи / О.М. Алифанов, Е.А. Артюхин, А.В. Ненарокомов. - М.: Янус-К, 2009.
2. Glagolev, M.V. Determination of Gas Exchange on the Border Between Ecosystem and Atmosphere: Inverse Modeling / M.V. Glagolev, A.F. Sabrekov // Mathematical Biology and Bioinformatics. - 2012. - V. 7, № 1. - P. 81-101.
3. Сабреков, А.Ф. Определение удельного потока метана из почвы с помощью обратного моделирования на основе сопряженных уравнений / А.Ф. Сабреков, М.В. Глаголев, И.Е. Терентьева // Математическая биология и биоинформатика: доклады Международной конференции. - Пущино: ИМПБ РАН, 2018. - Статья № e94. - 6 с.
4. Белолипецкий, В.М. Оценка потока углерода между атмосферой и наземной экосистемой по измерениям на вышке вертикального распределения концентраций СO_2 / В.М. Белолипецкий, П.В. Белолипецкий // Вестник НГУ. Серия информационных технологий. - 2011. - Т. 9, № 1. - C. 75-81.
5. Alghamdi, A.S.A. Inverse Estimation of Boundary Heat Flux for Heat Conduction Model / A.S.A. Alghamdi // Journal of King Abdulaziz University: Engineering Sciences. - 2010. - V. 21, № 1 - P. 73-95.
6. Farahani, S.D. Experimental Estimation Heat Flux and Heat Transfer Coefficient by Using Inverse Methods / S.D. Farahani, F. Kowsary, M. Ashjaee // Scientia Iranica. - 2016. - V. 3, № 4. - P. 1777-1786.
7. Bonacek, V. Sequential Inverse Heat Conduction Problem in OpenFOAM / V. Bonacek, J. Kominek, A. Vakhrushev, E. Karim-Sibaki, T.-W. Lee // OpenFOAM Journal. - 2021. - V. 1. - P. 27-46.
8. Onyango, T.M. Restoring Boundary Conditions in Heat Conduction / T.M. Onyango, D.B. Ingham, D. Lesnic // Journal of Engineering Mathematics. - 2008. - V. 62. - P. 85-101.
9. Kostin, A.B. On Some Problems of the Reconstruction of a Boundary Condition for a Parabolic Equation. II. / A.B. Kostin, A.I. Prilepko // Differential Equations. - 1996. - V. 32, № 11. - P. 1515-1525.
10. Kostin, A.B. On Some Problems of the Reconstruction of a Boundary Condition for a Parabolic Equation. I. / A.B. Kostin, A.I. Prilepko // Differential Equations. - 1996. - V. 32, № 1. - P. 113-122.
11. Pyatkov, S.G. Determination of the Heat Transfer Coefficient in Mathematical Models of Heat and Mass Transfer / S.G. Pyatkov, V.A. Baranchuk // Mathematical Notes. - 2023. - V. 113, № 1. - P. 93-108.
12. Pyatkov, S. Inverse Problems of Recovering the Heat Transfer Coefficient with Integral Data / S. Pyatkov, O. Soldatov, K. Fayazov // Journal of Mathematical Sciences. - 2023.- V. 274, № 2. - P. 255-268.
13. Kozhanov, A.I. Linear Inverse Problems for Some Classes of Nonlinear Nonstationary Equations / A.I. Kozhanov // Siberian Electronic Reports. - 2015. - V. 12. - С. 264-275.
14. Вержбицкий, М.А. О некоторых задачах идентификации граничных режимов / М.А. Вержбицкий // Математические заметки СВФУ. - 2016. - Т. 23, № 2. - С. 3-18.
15. Pyatkov, S. Existence and Uniqueness Theorems in the Inverse Problem of Recovering Surface Fluxes from Pointwise Measurements / S. Pyatkov D. Shilenkov // Mathematics. - 2022. - V. 10. -P. 1549.
16. Amann, H. Compact Embeddings of Vector-Valued Sobolev and Besov Spaces / H. Amann // Glasnik Matematicki. - 2000. - V. 35, № 1. - P. 161-177.
17. Ladyzhenskaya, O.A. Linear and Quasi-Linear Equations of Parabolic Type / O.A. Ladyzhenskaya, V.A. Solonnikov, N.N. Ural'tseva. - Providence: AMS, 1968.
18. Пятков, С. Г. Краевые и обратные задачи для параболических и эллиптических уравнений и систем / С.Г. Пятков. - Новосибирск: Наука, 2025.
19. Belonogov, V.A. On Solvability of Conjugation Problems with Non-Ideal Contact Conditions / V.A. Belonogov, S.G. Pyatkov // Russian Mathematics. - 2020. - V. 64, № 7. - P. 13-26.