HP-вариант метода коллокации и наименьших квадратов для эллиптических задач со старшими производными второго порядка на треугольных сгущающихся сетках

Предложен, реализован и верифицирован новый hp-вариант метода коллокации и наименьших квадратов (hp-МКНК) численного решения эллиптических задач со старшими производными второго порядка на треугольных сгущающихся сетках, построенных в Gmsh. В работе использованы пространства аппроксимирующих полиномов степеней p = 2, 3, 5, 6, 8, коэффициенты которых определяются из решения переопределенных разреженных систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) с помощью ортогонального метода, реализованного в библиотеке SuiteSparse, и распараллеливания на CUDA. Разработанный hp-МКНК протестирован на задаче Дирихле для уравнения Пуассона в квадрате и задаче изгиба защемленной кольцевой пластины в рамках теории Рейсснера-Миндлина, включая случаи с большими градиентами и ограниченной гладкостью решения. Проведено сравнение с коллокационным методом при p = 4(основанном на принципах МКНК), в котором СЛАУ имеет квадратную матрицу, а также проанализированы числа обусловленности и точность решения в зависимости от количества уравнений приближенной задачи и показателя сгущения сетки.

Ключевые слова

метод коллокации и наименьших квадратов; сгущающиеся треугольные сетки; уравнение Пуассона; теория Рейсснера-Миндлина; изгиб пластины.

Литература

1. Isaev, V.I. Numerical Study of Heat Modes of Laser Welding of Dissimilar Metals with an Intermediate Insert / V.I. Isaev, A.N. Cherepanov, V.P. Shapeev // International Journal of Heat and Mass Transfer. - 2016. - V. 99, № 1. - P. 711-720.
2. Semisalov, B.V. Verified Simulation of the Stationary Polymer Fluid Flows in the Channel with Elliptical Cross-Section / B.V. Semisalov, V.A. Belyaev, L.S. Bryndin, et al // Applied Mathematics and Computation. - 2022. - V. 430. - Article ID: 127294. - 25 p.
3. Голушко, С.К. Метод коллокаций и наименьших невязок в приложении к задачам механики изотропных пластин / С.К. Голушко, С.В. Идимешев, В.П. Шапеев // Вычислительные технологии. - 2013. - Т. 18, № 6. - С. 31-43.
4. Беляев, В.A. H-, P- и HP-варианты метода коллокации и наименьших квадратов для решения краевых задач для бигармонического уравнения в нерегулярных областях и их приложения / В.А. Беляев, Л.С. Брындин, С.К. Голушко и др. // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 2022. - Т. 62, № 4. - С. 531-552.
5. Брындин, Л.С. Коллокационные методы с полиномами четвертой степени на треугольных сетках и их применение для расчета изгиба круглых пластин с отверстиями / Л.С. Брындин, В.А. Беляев // Труды Института математики и механики УрО РАН. - 2024. - Т. 30, № 1. - С. 43-60.
6. Голушко, С.К. Кубический вариант метода коллокации и наименьших квадратов и его приложение к расчету изгиба пластин / С.К. Голушко, Л.С. Брындин, В.А. Беляев, А.Г. Горынин // Сибирский журнал индустриальной математики. - 2024. - Т. 27, № 3. - С. 36-56.
7. Исаев, В.И. Варианты метода коллокаций и наименьших квадратов повышенной точности для численного решения уравнения Пуассона / В.И. Исаев, В.П. Шапеев, С.В. Идимешев // Вычислительные технологии. - 2011. - Т. 16, № 1. - С. 85-93.
8. Беляев, В.А. Решение уравнения Пуассона с особенностями методом коллокации и наименьших квадратов / В.А. Беляев// Сибирский журнал вычислительной математики. - 2020. - Т. 23, № 3. - С. 249-263.
9. Брындин, Л.С. HP-Вариант метода коллокации и наименьших квадратов с уравнениями коллокации в корнях полиномов Лежандра / Л.С. Брындин, В.А. Беляев // Сибирские электронные математические известия. - 2024. - Т. 21, № 2. - С. 1181-1201.
10. Исаев, В.И. Исследование свойств метода коллокации и наименьших квадратов решения краевых задач для уравнения Пуассона и уравнений Навье - Стокса / В.И. Исаев, В.П. Шапеев, С.А. Еремин // Вычислительные технологии. - 2007. - Т. 12, № 3. - С. 53-70.
11. Исаев, В.И. Варианты метода коллокаций и наименьших квадратов повышенной точности для численного решения уравнений Навье - Стокса / В.И. Исаев, В.П. Шапеев // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 2010. - Т. 50, № 10. - С. 1758-1770.
12. Guo Hailong. A C^0 Linear Finite Element Method for Biharmonic Problems / Guo Hailong, Zhimin Zhang, Qingsong Zou // Journal of Scientific Computing. - 2017. - V. 74, № 3. - P. 1397-1422.
13. Guo Chen. A Fast Finite Difference Method for Biharmonic Equations on Irregular Domains and its Application to an Incompressible Stokes Flow / Guo Chen, Zhilin Li, Ping Lin // Advances in Computational Mathematics. - 2007. - V. 29, № 2. - P. 113-133.
14. Шапеев, В.П. Решение эллиптических задач с особенностями по схемам высокого порядка аппроксимации / В.П. Шапеев, А.В. Шапеев // Вычислительные технологии. - 2006. - Т. 11, № 2. - С. 84-91.
15. Duy Mai. A Spectral Collocation Technique Based on Integrated Chebyshev Polynomials for Biharmonic Problems in Irregular Domains / Duy Mai, H. See, Tran Cong Cong // Applied Mathematical Modelling. - 2009. - V. 33, № 1. - P. 284-299.
16. Wenting Shao. Chebyshev tau Meshless Method Based on the Integration-Differentiation for Biharmonic-Type Equations on Irregular Domain / Wenting Shao, Xionghua Wu, Suqin Chen // Engineering Analysis with Boundary Elements. - 2012. - V. 36, № 12. - P. 1787-1798.
17. Kiendl, J. Isogeometric Collocation Methods for the Reissner-Mindlin Plate Problem / J. Kiendl, F. Auricchio, L. Beirao da Veiga et al // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. - 2015. - V. 284, № 1. - P. 489-507.
18. Reddy, J.N. Mechanics of Laminated Composite Plates and Shells: Theory and Analysis / J.N. Reddy. - Boca Raton; London; New York; Washington: CRC Press, 2004.
19. Ike, C.C. Mathematical Solutions for the Flexural Analysis of Mindlin's First Order Shear Deformable Circular Plates / C.C. Ike // Mathematical Models in Engineering. - 2018. - V. 4, № 2. - P. 50-72.
20. Garcia, O. hp-Clouds in Mindlin's Thick Plate Model / O. Garcia, E.A. Fancello, C. de Barcellos, C.A. Duarte // International Journal for Numerical Methods in Engineering. - 2000. - V. 47, № 8. - P. 1381-1400.
21. Luo Yunhua. Shear Locking in Finite Elements: Licentiate Thesis / Luo Yunhua. - Stockholm: Kungliga Tekniska h"ogskolan, 1997.
22. Tiago, C. Eliminating Shear-Locking in Meshless Methods: a Critical Overview and a New Framework for Structural Theories / C. Tiago, V.M.A. Leitao // Computational Methods in Applied Sciences. - 2007. - V. 5, № 1. - P. 123-147.
23. Davis, T.A. Algorithm 915, SuiteSparseQR: Multifrontal Multithreaded Rank-Revealing Sparse QR Factorization / T.A. Davis // ACM Transactions on Mathematical Software. - 2011. - V. 38, № 1. - Article ID: 8. - P. 8:1-8:22.