Об измерении "белого шума"

В рамках теории уравнений леонтьевского типа рассмотрена математическая модель измерительного устройства, демонстрирующая эффект механической инерционности. При изучении модели с детерминированным внешним сигналом очень полезными оказались методы и результаты теории уравнений соболевского типа и вырожденных групп операторов, поскольку они позволили создать эффективный вычислительный алгоритм. Теперь в модели предполагается наряду с детерминированным сигналом наличие белого шума. Поскольку модель представлена вырожденной системой обыкновенных дифференциальных уравнений, то к ней трудно применимы существующие ныне подходы Ито - Стратоновича - Скорохода и Мельниковой - Филинкова - Альшанского, в которых белый шум понимается как обобщенная производная винеровского процесса. Вместо этого предлагается новая концепция "белого шума", равного симметрической производной в среднем (в статье - производной Нельсона - Гликлиха) винеровского процесса, причем подмечено, что в рамках теории Эйнштейна - Смолуховского данная производная совпадает с "обычной" производной броуновского движения. В первой части статьи собраны основные факты теории производной Нельсона - Гликлиха, адаптированные к рассматриваемой ситуации. Во второй - рассмотрена ослабленная задача Шоуолтера - Сидорова и даны точные формулы ее решения. В качестве примера приведена конкретная модель измерительного устройства.

Ключевые слова

уравнения леонтьевского типа, ослабленная задача Шоуолтера - Сидорова, симметрическая производная в среднем, виннеровский процесс.

Литература

1. Шестаков, А.Л. Динамическая точность измерительного преобразователя с корректирующим устройством в виде модели датчика / А.Л. Шестаков // Метрология. - 1987. - № 2. - С. 26-34.
2. Свиридюк, Г.А. Численное решение систем уравнений леонтьевского типа / Г.А. Свиридюк, С.В. Брычев // Изв. высш. учеб. заведений. Математика. - 2003. - № 8. - С. 46-52.
3. Шестаков, А.Л. Коррекция динамической погрешности измерительного преобразователя линейным фильтром на основе модели датчика / А.Л. Шестаков // Изв. высш. учеб. заведений. Приборостроение. - 1991. - Т. 34, № 4. - С. 8-13.
4. Шестаков, А.Л. Модальный синтез измерительного преобразователя / А.Л. Шестаков // Известия РАН. Теория и системы управления. - 1995. - № 4. - С. 67-75.
5. Шестаков, А.Л. Новый подход к измерению динамически искаженных сигналов / А.Л. Шестаков, Г.А. Свиридюк // Вестн. Юж.-Урал. гос. ун-та. Сер.: Мат. моделирование и программирование. Челябинск. - 2010. - № 16 (192), вып. 5. - C. 116-120.
6. Shestakov, A.L. Optimal measurement of dynamically distorted signals / A.L. Shestakov, G.A. Sviridyuk // Вестн. Юж.-Урал. гос. ун-та. Сер.: Мат. моделирование и программирование. Челябинск. - 2011. - № 17 (234), вып. 8. - С. 70-75.
7. Шестаков, А.Л. Численное решение задачи оптимального измерения / А.Л. Шестаков, А.В. Келлер, Е.И. Назарова // Автоматика и телемеханика. - 2012. - № 1. - C. 107-115.
8. Гантмахер, Ф.Р. Теория матриц / Ф.Р. Гантмахер. - М: Физматлит, 2004.
9. Sviridyuk, G.A. Linear Sobolev Type Equations and Degenerate Semigroups of Operators / G.A. Sviridyuk, V.E. Fedorov. - Utrecht; Boston; Koln; Tokyo: VSP, 2003.
10. Келлер, А.В. Задача оптимального измерения: численное решение, алгоритм программ / А.В. Келлер, Е.И. Назарова // Известия Иркут. гос. ун-та. Сер. Математика. - Иркутск, 2011. - Т.4, № 3. - С. 74-82.
11. Showolter - Sidorov problem (shosid problem): свидетельство 2010616865 / Келлер А.В.(RU); правообладатель ГОУ ВПО "Южно-Уральский государственный университет". - 210615137; заявл. 16.08.2010; зарегестр. 14.10.2010, Реестр программ для ЭВМ.
12. Ito, K. Essentials of Stochastic Processes (Translations of Mathematical Monographs, V. 231 / K. Ito. - American Mathematical Society, 2006.
13. Stratonovich, R.L. Conditional Markov Processes and Their Applications to the Theory of Optimal Control / R.L. Stratonovich. - N.-Y.: Elsevier, 1968.
14. Скороход, А.В. Марковские процессы и вероятностные приложения в анализе / А.В. Скороход // Итоги науки и техники. Сер. Совр. проблемы математики. Фундамент. направления. - Т.43. - М.:ВИНИТИ, 1989. - С. 147-188.
15. Kovacs, M. Introduction to stochastic partial differential equations / M. Kovacs, S. Larsson // Proceedings of "New Directions in the Mathematical and Computer Sciences", National Universities Commission, Abuja, Nigeria, October 8-12, 2007. Publications of the ICMCS. - V. 4. - 2008. - P. 159-232.
16. Melnikova, I.V. Abstract Stochastic Equations II. Solutions In Spaces Of Abstract Stochastic Distributions / I.V. Melnikova, A.I. Filinkov, M.A. Alshansky // J. of Mathematical Sciences. - 2003. - V. 116, № 5. - P. 3620-3656.
17. Nelson, E. Dynamical Theories of Brownian Motion / E. Nelson. - Princeton: Princeton University Press, 1967.
18. Gliklikh, Yu.E. Global and Stochastic Analysis with Applications to Mathematical Physics / Yu.E. Gliklikh. - London; Dordrecht; Heidelberg; N.-Y.: Springer, 2011.
19. Свиридюк, Г.А. Задача Шоуолтера - Сидорова как феномен уравнений соболевского типа / Г.А. Свиридюк, С.А. Загребина // Известия Иркут. гос. ун-та. Сер. Математика. - Иркутск, 2010. - Т.3, № 1. - С. 51-72.