Неклассические модели математической физики

Неклассическими называют те модели математической физики, чьи представления в виде уравнений или систем уравнений в частных производных не укладываются в рамках одного из классических типов — эллиптического, параболического или гиперболического. В частности, к неклассическим относятся модели, описываемые уравнениями смешанного типа (например, уравнением Трикоми), вырождающимися уравнениями (например, уравнением Келдыша) или уравнениями соболевского типа (например, уравнением Баренблатта — Желтова — Кочиной). Статья содержит обзор некоторых, на наш взгляд, главных достижений А. И. Кожанова в области неклассических моделей математической физики. Основные его достижения в области линейных неклассических моделей относятся к теории уравнений составного типа, где он развил практически до совершенства метод априорных оценок и сделал максимально возможные обобщения. Кроме того, метод априорных оценок наряду с принципом сравнения А. И. Кожанов весьма эффективно применял для изучения нелинейных неклассических моделей таких как обобщенное фильтрационное уравнение Буссинеска, а также классических нелинейных моделей, в частности, моделей джозефсоновского контакта. Особое место в творчестве А. И. Кожанова занимают обратные коэффициентные задачи, где наряду с решением требуется найти еще и неизвестный коэффициент. И здесь он получил выдающиеся результаты как в линейном, так и в нелинейном случаях.

Ключевые слова

уравнения составного типа, уравнения соболевского типа, обобщенное фильтрационное уравнение Буссинеска, обратные коэффициентные задачи.

Литература

1. Врагов, В.Н. Краевые задачи для неклассических уравнений математической физики / В.Н. Врагов. - Новосибирск: НГУ, 1983.
2. Pyatkov, S.G. Operator theory. Nonclassical problems / S.G. Pyatkov. - Utrecht; Boston; Köln; Tokyo: VSP, 2002.
3. Demidenko, G.V. Partial differential equations and systems not solvable with respect to the highest-order derivative / G.V. Demidenko, S.V. Uspenskii. - New York; Basel; Hong Kong: Marcel Dekker, Inc., 2003.
4. Линейные и нелинейные уравнения соболевского типа / А.Г. Свешников, А.Б. Альшин, М.О. Корпусов, Ю.Д. Плетнер. - М.: Физматлит, 2007.
5. Sviridyuk, G.A. Linear Sobolev Type Equations and Degenerate Semigroups of Operators / G.A. Sviridyuk, V.E. Fedorov. - Utrecht; Boston; Köln; Tokyo: VSP, 2003.
6. Свиридюк, Г.А. Задача Шоуолтера - Сидорова как феномен уравнений соболевского типа / Г.А. Свиридюк, С.А. Загребина // Изв. Иркут. гос. ун-та. Сер. Математика. - Иркутск, 2010. - Т.3, № 1. - С.51-72.
7. Кожанов, А.И. Задача с косой производной для некоторых псевдопараболических и близких к ним уравнений / А.И. Кожанов // Сиб. мат. журн. - 1996. - Т. 37, № 6. - C. 1335-1346.
8. Кожанов, А.И. О разрешимости краевых задач для волнового уравнения с нелинейной диссипацией в нецилиндрических областях / А.И. Кожанов, Н.А. Ларькин // Сиб. мат. журн. - 2001. - Т. 42, № 6. - C. 1278-1299.
9. Кожанов, А.И. О разрешимости краевых задач для квазилинейных ультрапараболических уравнений некоторых математических моделей динамики биологических систем / А.И. Кожанов // Сиб. журн. индустр. математики. - 2009. - Т. 12, № 4. - C. 64-78.
10. Кожанов, А.И. Краевые задачи для уравнений математической физики нечетного порядка / А.И. Кожанов. - Новосибирск: НГУ, 1990.
11. Баренблатт, Г.И. Об основных представлениях теории фильтрации в трещинноватых средах / Г.И. Баренблатт, Ю.П. Желтов, И.Н. Кочина // Прикл. математика и механика. - 1960. - Т. 24, № 5. - С.58-73.
12. Hallaire, M. On a theory of moisture-transfer / M. Hallaire // Inst. Rech. Agronom. - 1964. - № 3. - P. 60-72.
13. Chen, P.J. On a theory of heat conduction involving two temperatures / P.J. Chen, M.E. Gurtin // Z. Angew. Math. Phys. - 1968. - V. 19. - P. 614-627.
14. Кожанов, А.И. О краевых задачах для некоторых классов уравнений высокого порядка, неразрешенных относительно старшей производной / А.И. Кожанов // Сиб. мат. журн. - 1994. - Т. 35, № 2. - C. 359-376.
15. Загребина, С.А. Начально-конечная задача для линейной системы Навье - Стокса / С.А. Загребина // Вестн. Юж.-Урал. гос. ун-та. Сер.: 'Мат. моделирование и программирование'. - Челябинск, 2010. - № 4 (221), вып. 7. - С. 35-39.
16. Свиридюк, Г.А. Фазовые пространства одного класса линейных уравнений соболевского типа высокого порядка / Г.А. Свиридюк, А.А. Замышляева // Дифференц. уравнения. - 2006. - Т. 42, № 2. - С. 252-260.
17. Замышляева, А.А. Начально-конечная задача для неоднородного уравнения Буссинеска - Лява / А.А. Замышляева // Вестн. Юж.-Урал. гос. ун-та. Сер.: «Мат. моделирование и программирование». - Челябинск, 2011. - № 37 (254), вып. 10. - С. 22-29.
18. Полубаринова-Кочина, П.Я. Теория движения грунтовых вод / П.Я. Полубаринова-Кочина. - М.: Наука, 1977.
19. Дзекцер, Е.С. Обобщение уравнения движения грунтовых вод со свободной поверхностью / Е.С.Дзекцер // Докл. Акад. наук СССР. - 1972. - Т. 202, № 5. - С. 1031-1033.
20. Фураев, В.З. Вывод уравнения для свободной поверхности фильтрующейся жидкости в слое конечной глубины / В.З. Фураев, Г.А. Шадрин // Вычислит. математика и мат. физика. - М., 1982. - Т. 10. - C. 66-71.
21. Свиридюк, Г.А. Одна задача для обобщенного фильтрационного уравнения Буссинеска / Г.А. Свиридюк // Изв. вузов. Математика. - 1989. - № 2. - С. 55-61.
22. Манакова, Н.А. Задача оптимального управления для обобщенного фильтрационного уравнения Буссинеска // Вестн. Магнитогор. гос. ун-та. Сер. Математика. - Магнитогорск, 2005. - Вып. 8. - С. 113-122.
23. Кожанов, А.И. Начально-краевая задача для уравнений типа обобщенного уравнения Буссинеска с нелинейным источником / А.И. Кожанов // Мат. заметки. - 1999. - Т. 65, № 1. C. 70-75.
24. Кожанов, А.И. Некоторые классы нестационарных уравнений с растущими младшими членами / А.И. Кожанов // Сиб. мат. журн. - 1998. - Т. 39, № 4. - C. 875-885.
25. Кожанов, А.И. О разрешимости обратной задачи нахождения коэффициента теплопроводности / А. И. Кожанов // Сиб. мат. журн. - 2005. - Т. 46, № 5. - С. 1053-1071.
26. Kozhanov, A.I. Composite Type Equations and Inverse Problems. - Utrecht; Boston; Köln; Tokyo: VSP, 1999.