О скорости сходимости стационарного метода Галеркина для уравнения смешанного типа

В работе изучается краевая задача В.Н. Врагова для уравнения смешанного типа второго порядка, когда уравнение принадлежит эллиптическому типу вблизи оснований цилиндрической области. С помощью стационарного метода Галеркина доказана однозначная регулярная разрешимость краевой задачи при определенных условиях на коэффициенты и правую часть уравнения. При этом установлены априорные оценки для уравнения смешанного типа, которым удовлетворяют приближенные решения. Получена оценка скорости сходимости стационарного метода Галеркина в норме пространства Соболева $W^{1}_{2}$, через собственные функции оператора Лапласа по пространственным переменным и по времени. При выводе оценки скорости сходимости метода Галеркина существенно используется разложение решения исходной краевой задачи в ряд Фурье по собственным функциям оператора Лапласа и известное равенство Парсеваля.

Ключевые слова

уравнение смешанного типа, стационарный метод Галеркина, краевая задача, неравенство, оценка.

Литература

1. Бицадзе, А.В. Уравнения смешанного типа / А.В. Бицадзе. - М.: Изд-во АН СССР, 1959.
2. Смирнов, М.М. Уравнения смешанного типа / М.М. Смирнов. - М.: Наука, 1970.
3. Михлин, С.Г. Вариационные методы в математической физике / С.Г. Михлин. - М.: Наука, 1970.
4. Ладыженская, О.А. Краевые задачи математической физики / О.А. Ладыженская. -М.: Наука, 1973.
5. Моисеев, Е.И. Уравнения смешанного типа со спектральным параметром / Е.И. Моисеев. - М.: Изд-во Моск. ун-та, 1988.
6. Егоров, И.Е. Неклассические уравнения математической физики высокого порядка / И.Е. Егоров, В.Е. Федоров. - Новосибирск: Изд-во ВЦ СО РАН, 1995.
7. Джишкариани, А.В. О быстроте сходимости метода Бубнова-Галеркина / А.В. Джишкариани // Журн. вычисл. мат. и мат. физики. - 1964. - Т. 4, № 2. - С. 343-348.
8. Врагов, В.Н. К теории краевых задач для уравнений смешанного типа / В.Н. Врагов // Дифференц. уравнения. - 1977. - Т. 13, № 6. - С. 1098-1105.
9. Ларькин, Н.А. Об одном классе нелинейных уравнений смешанного типа / Н.А. Ларькин // Сиб. мат. журн. - 1978. - Т. XIX, № 6. - С.1308-1314.
10. Виноградова, П.В. Оценка погрешности метода Галеркина для нестационарных уравнений / П.В. Виноградова, А.Г. Зарубин // Журн. вычисл. мат. и мат. физики. - 2009. - Т.49, № 9. - С. 1643-1651.
11. Егоров, И.Е. О стационарном методе Галеркина для уравнения смешанного типа второго порядка / И.Е. Егоров, И.М. Тихонова // Мат. заметки ЯГУ. - 2010. - Т. 17, вып. 2. - С. 41-47.