Optimal Solutions for Inclusions of Geometric Brownian Motion Type with Mean Derivatives

Идея производных в среднем стохастических процессов была предложена Э. Нельсоном в 60-х годах ХХ века. В отличие от обычных производных, производные в среднем корректно определены для очень широкого класса случайных процессов, и уравнения с производными в среднем естественно возникают во многих математических моделях физики (в частности, Э. Нельсон ввел производные в среднем для нужд Стохастической Механики - варианта квантовой механики). Включения с производными в среднем являются естественными обобщениями указанных уравнений в случае управления с обратной связью или движения в сложных средах. Статья посвящена краткому введению в теорию уравнений и включений с производными в среднем и изучению специального класса подобных включений, называемых включениями типа геометрического броуновского движения. Доказано существование оптимального решения, максимизирующего некоторый функционал качества.

Ключевые слова

производные в среднем; стохастические дифференциальные включения; оптимальное решение.

Литература

1. Nelson, E. Derivation of the Schrodinger equation from Newtonian mechanics / E. Nelson // Phys. Reviews. - 1966. - V. 150. - P. 1079-1085.
2. Nelson, E. Dynamical theory of Brownian motion / E. Nelson. - Princeton: Princeton University Press, 1967. - 142 p.
3. Nelson, E. Quantum fluctuations / E. Nelson. - Princeton: Princeton University Press, 1985. - 147 p.
4. Gliklikh, Yu.E. Global and Stochastic Analysis with Applications to Mathematical Physics / Yu.E. Gliklikh. - London: Springer-Verlag, 2011. - 460 p.
5. Azarina, S.V. Differential inclusions with mean derivatives / S.V. Azarina, Yu.E. Gliklikh // Dynamic systems and applications. - 2007. - V. 16. - P. 49-72.
6. Азарина, С.В. Включения с производными в среднем для процессов типа геометрического броуновского движения и их приложения / С.В. Азарина, Ю.Е. Гликлих // Семинар по глобальному и стохастическому анализу. - 2009. - Вып. 4. - С. 3-8.
7. Введение в теорию многозначных отображений и дифференциальных включений / Ю.Г. Борисович, Б.Д. Гельман, А.Д. Мышкис, В.В. Обуховский. - М.: Комкнига, 2005. - 213 с.
8. Гликлих, Ю.Е. Глобальный и стохастический анализ в задачах математической физики / Ю.Е. Гликлих. - М.: Комкнига, 2005. - 416 с.
9. Гихман, И.И. Теория случайных процессов / И.И. Гихман, А.В. Скороход. - М.: Наука, 1975. - Т.3. - 496 с.
10. Канторович Л.В. Функциональный анализ / Л.В. Канторович, Г.П. Акилов. - М.: Наука, 1977. - 742 p.
11. Партасарати, К. Введение в теорию вероятностей и теорию меры / К. Партасарати. - М.: Мир, 1988. - 343 с.
12. Gliklikh, Yu.E. Stochastic differential inclusions of Langevin type on Riemannian manifolds / Yu.E. Gliklikh, A.V. Obukhovskii // Discussiones Mathematicae DICO. - 2001. - V. 21. - P. 173-190.
13. Иосида, К. Функциональный анализ / К. Иосида. - М.: Мир, 1967. - 624 с.
14. Биллингсли П. Сходимость вероятностных мер / П. Биллингсли. - М.: Наука, 1977. - 351 с.