On the Mean-Value Property for Polyharmonic Functions

Получено свойство среднего для нормальных производных от полигармонической функции по единичной сфере. Значение интеграла от нормальных производных по единичной сфере от полигармонической функции выражается через значения степеней лапласианов от этой функции в начале координат. В частности, установлено, что интеграл по единичной сфере от нормальных производных k-гармонической функции порядка не меньше 2k-1 равен нулю. Найдены значения полигармонической функции и лапласианов от нее в центре единичного шара. Это значение выражается через интеграл по единичной сфере от линейной комбинации нормальных производных до k-1 порядка для k-гармонической функции. Приведены иллюстративные примеры.

Ключевые слова

полигармонические функции, свойство среднего, нормальные производные на сфере.

Литература

1. Stein, E.M. Introduction to Fourier Analysis on Euclidian Spaces / E. M. Stein, G. Weiss. - Princeton Univ. Press, Princeton, NJ, 1971.
2. Dalmasso, R. On the Mean-Value Property of Polyharmonic Functions / Dalmasso R. // Studia Sci. Math. Hungar. - 2010. - V. 47, № 1. - P. 113-117.
3. Карачик, В.В. О некоторых специальных полиномах и функциях / В.В. Карачик // Сибирские электронные математические известия. - 2013. - Т. 10. - C. 205-226.
4. Карачик, В.В. Построение полиномиальных решений некоторых краевых задач для уравнения Пуассона / В.В. Карачик // ЖВМиМФ. - 2011. - Т. 51, № 9. - C. 1674-1694.
5. Карачик, В.В. Об одной задаче для полигармонического уравнения в шаре / В.В. Карачик // Сибирский математический журнал, 1991. - Т. 32, № 5. - С. 51-58.
6. Карачик, В.В. Об одном представлении аналитических функций гармоническими / В.В. Карачик // Математические труды. - 2007. - Т. 10, № 2. - C. 142-162.
7. Karachik, V.V. On Some Special Polynomials / V.V. Karachik // Proceedings of American Mathematical Society. - 2004. - V. 132, № 4. - P. 1049-1058.
8. Менихес, Л.Д. О регуляризуемости некоторых классов отображений, обратных к интегральным операторам / Л.Д. Менихес // Математические заметки. - 1999. - Т. 65, № 2. - С. 222-229.
9. Menikhes, L.D. On Sufficient Condition for Regularizability of Linear Inverse Problems / L.D. Menikhes // Mathematical Notes. - 2007. - V. 82, № 1-2. - P. 242-246.