Моделирование диффузорных течений жидкости посредством редуцированных уравнений

Знание динамических характеристик жидкости в гидроциклонах и диффузорах имеет большое значение для задачи оптимизации технических характеристик проточных частей турбинных насосов, участвующих в перекачке нефти по магистральным трубопроводам. Описание же динамических характеристик жидкости в этих устройствах можно получить на основе имеющихся аналитических выражений для решений модельных уравнений гидродинамики или их упрощенных вариантов, используемых в подобных задачах. Как показывает практика, получаемые из уравнения Навье - Стокса редуцированные (упрощенные) уравнения гидродинамического типа позволяют достаточно точно моделировать течения жидкости в областях произвольных геометрических форм. В данной статье использован подход, связанный с функциональной редукцией уравнения Гельмгольца, в случае плоского диффузорного течения, к краевой задаче для ОДУ Джеффри - Гамеля (посредством подстановки Гамеля). При конечных значениях числа Рейнольдса установлена возможность построения приближений к решениям редуцированного уравнения через нелинейную аппроксимацию Галеркина - Ритца - по одной из (вариационных) версий метода Ляпунова - Шмидта. Посредством такой аппроксимации можно сколь угодно точно определять поле скоростей частиц жидкости и, как следствие, извлекать информацию о таких свойствах течения, как его диффузорность или конфузорность на отдельных участках. В статье приведены примеры графических изображений приближенно вычисленных эпюр скоростей для течений, близких к n-модовым, nle5.

Ключевые слова

уравнение Навье - Стокса; уравнение Гельмгольца, диффузорное течение; подстановка Гамеля; вариационный метод Ляпунова - Шмидта; эпюра скоростей.

Литература

1. Jeffery, G.B. The Two-Dimensional Steady Notion of a Viskous Fluid/ G.B. Jeffery// Phil. Mag. Ser.6. - 1915. - V.29, № 172. - P. 455-465.
2. Hamel, G. Spiralformige Bewegungen zaher Flussigkeiten / G. Hamel // Jahresber. Detsch. Math. Ver. - 1917. - Bd 25. - P. 34-60.
3. Акуленко, Л.Д. Бифуркация основного стационарного течения вязкой жидкости в плоском диффузоре / Л.Д. Акуленко, С.А. Кумакшев // Известия РАН. Механика жидкости и газа. - 2005. - № 3. - С. 25-36.
4. Акуленко, Л.Д. Бифуркация многомодовых течений вязкой жидкости в плоском диффузоре / Л.Д. Акуленко, С.А. Кумакшев // Прикладная математика и механика. - 2008. - Т. 72, вып. 3. - С. 431-441.
5. Кочин, Н.Е. Теоретическая гидродинамика. Ч. 2 / Н.Е. Кочин, И.А. Кибель, Н.В. Розе. - М.: Физматгиз, 1963. - 728 с.
6. Ландау, Л.Д. Теоретическая физика. Т. VI. Гидродинамика / Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц. - М.: Наука, 1986. - 736 с.
7. Даринский, Б.М. Бифуркации экстремалей фредгольмовых функционалов/ Б.М. Даринский, Ю.И. Сапронов, С.Л. Царев // Современная математика. Фундаментальные направления. - 2004. - Т. 12. - С. 3-140.
8. Свиридюк, Г.А. Квазистационарные траектории полулинейных динамических уравнений типа Соболева / Г.А. Свиридюк // Известия АН СССР, серия математическая. - 1993. - Т. 57, № 3. - С. 192-207.
9. Свиридюк, Г.А. О задаче Веригина для обобщенного фильтрационного уравнения Буссинеска / Г.А. Свиридюк, С.А. Загребина // Известия вузов. Математика. - 2003. - № 7. - С. 54-58.
10. Загребина, С.А. О задаче Шоуолтера - Сидорова / С.А. Загребина // Известия вузов. Математика. - 2007. - № 3. - С. 22-28.
11. Красносельский, М.А. Геометрические методы нелинейного анализа / М.А. Красносельский, П.П. Забрейко. - М.: Наука, 1975. - 512 с.
12. Борзаков, А.Ю. Нелинейные ритцевские аппроксимации и визуализации бифуркаций экстремалей / А.Ю. Борзаков, А.А. Лемешко, Ю.И. Сапронов // Вестник Воронежского государственного университета. Серия: Физика. Математика. - 2003. - Вып. 2. - С. 100-112.
13. Борзаков, А.Ю. Применение методов конечномерной редукции к глобальному анализу краевых задач на примере уравнения Дуффинга / А.Ю. Борзаков // Сборник трудов математического факультета ВГУ. - 2005. - Вып. 9. - С. 9-22.
14. Костин, Д.В. Об одной схеме анализа двухмодовых прогибов слабо неоднородной упругой балки / Д.В. Костин // Доклады Академии наук. - 2008. - Т. 418, № 4. - С. 295-299.
15. Костина, Т.И. Нелокальное вычисление ключевых функций в задаче о периодических решениях вариационных уравнений / Т.И. Костина // Вестник Воронежского государственного университета. Серия: Физика. Математика. - 2011. - № 1. - С. 181-186.