Ломаные Эйлера и диаметр разбиения

В работе исследуются условия, которые нужно наложить на правую часть системы для того, чтобы при достаточно малом диаметре разбиения ломаные Эйлера сходились к пучку решений системы, в частности, чтобы из всякой последовательности ломаных Эйлера можно было выделить сходящуюся на всем рассматриваемом промежутке времени к решению подпоследовательность. Найдено условие (для заданной, выписываемой явно, константы, для любой липшицевого с этой константой отображения в фазовую плоскость, множество точек разрыва функции динамики имеет нулевую по Лебегу меру на графиках таких отображений), которое гарантирует сходимость ломаных Эйлера к пучку решений системы, если только диаметр соответствующих ломаным разбиений стремится к нулю. Рядом примеров показано, что данное условие не может быть ослаблено; в частности, сходимости может не быть даже если для всякой порожденной в рамках системы траектории сужение функции динамики на этот график интегрируемо по Риману, константа в указанном выше условии также не может быть уменьшена.
В работе ломаные Эйлера погружаются в семейство решений интегрального уравнения с запаздыванием специального вида, для которых в свою очередь, и проводится доказательство основного результата. Вследствие этого, результаты статьи имеют место и в более широком классе численных методов, например для ломаных со счетным числом звеньев.

Ключевые слова

дифференциальные уравнения; ломаные Эйлера; пошаговые методы; условия Каратеодори.

Литература

1. Варга, Дж. Оптимальное управление дифференциальными и функциональными уравнениями / Дж. Варга. - М.: Наука, 1977. - 624 с.
2. Хартман, Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения / Ф. Хартман. - М.: Мир, 1970. - 720 с.
3. Толстоногов, А.А. Дифференциальные включения в банаховом пространстве / А.А. Толстоногов. - Новосибирск: Наука, 1986. - 296 c.
4. Tolstonogov, A.A. Differential Inclusions in a Banach Space. Mathematics and Its Applications, 524 / A.A. Tolstonogov. - Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 2000. - 302 с.
5. Филиппов, А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью / А.Ф. Филиппов. - М.: Наука, 1985. - 255 с.
6. Красовский, Н.Н. Позиционные дифференциальные игры / Н.Н. Красовский, А.И. Субботин. - М.: Наука, 1974. - 458 с.
7. Cortes, J. Discontinuous Dynamical Systems / J. Cortes // Control Systems, IEEE. - 2009. - V. 28, № 3. - P. 36-73.
8. Biles, D.C. A Survey of Recent Results for the Generalizations of Ordinary Differential Equations / D.C. Biles, M. Federson, R.L. Pouso // Abstract and Applied Analysis. - 2014. - Art. ID 260409. - 9 pp.
9. Хлопин, Д.В. Равномерная аппроксимация максимальных вправо траекторий в условиях асимптотической интегральной устойчивости / Д.В. Хлопин // Труды Международной конференции по математической теории управления и механике, (Суздаль, 3-7 июля 2009). - М., 2011. - С. 211-218.
10. Bohner М. Dynamic Equations on Time Scales / М. Bohner, А. Peterson. - Birkh'auser, 2001.
11. Artstein, Z. Continuous Dependence on Parameters: On the Best Possible Results / Z. Artstein // Journal of Differential Equation. - 1975. - V. 19, № 2. - P. 214-225.
12. Хлопин, Д.В. Ломаные Эйлера в системах с измеримой по времени правой частью / Д.В. Хлопин // Дифференциальные уравнения. - 2008. - Т. 44, № 12. - С. 1648-1657.
13. Хлопин, Д.В. Ломаные Эйлера и временные шкалы в условиях Каратеодори / Д.В. Хлопин // Труды ИММ УрО РАН. - 2008. - Т. 14, № 4. - С. 159-171.
14. Хлопин, Д.В. Ломаные Эйлера в системах с условиями Каратеодори / Д.В. Хлопин // Труды ИММ УрО РАН. - 2007. - Т. 13, № 2. - С. 167-184.
15. Жуковский, Е.С. О параметрическом задании решения дифференциального уравнения и его приближенном построении / Е.С. Жуковский // Известия ВУЗов. Математика. - 1996. - Т. 407, № 4. - С. 31-34.
16. Панасюк, A.И. Свойства решений обобщенных дифференциальных уравнений аппроксимационного типа в $mm{R}^m$ / A.И. Панасюк // Дифференциальные уравнения. - 1991. - Т. 27, № 12. - С. 2065-2076.
17. Петухов, В.Р. Исследование одной системы дифференциально-функциональных уравнений / В.Р. Петухов // Дифференциальные уравнения. - 1968. - Т. 4, № 5. - С. 875-880.
18. Хейл, Дж. Теория функционально-дифференциальных уравнений / Дж. Хейл. - М.: Мир, 1984. - 421 с.
19. Филиппов, В.В. Общая топология / В.В. Филиппов, В.В. Федорчук. - М.: Физматлит, 2006. -332 с.
20. Ким, А.В. О степени гладкости решений функционально-дифференциальных уравнений / А.В. Ким, Н.Г. Колмогорцева // Труды ИММ УрО РАН. - 2007. - Т. 13, № 2. - С. 120-124.