Устойчивость по Ляпунову задачи Коши - Дирихле для обобщенного уравнения Хоффа

В данной статье исследуется начально-краевая задача Коши с однородными граничными условиями Дирихле для обобщенного уравнения Хоффа, заданного в ограниченной области. Это уравнение моделирует динамику выпучивания двутавровой балки, находящейся под постоянной нагрузкой и относится к классу полулинейных (у оператора действующего на исходную функцию можно выделить линейную часть и нелинейную) уравнений соболевского типа. Нас интересует устойчивость нулевого решения данной задачи. В рамках теории устойчивости выделяют два метода: первый - исследование устойчивости по линейному приближению и второй - исследование устойчивости посредством функции Ляпунова. Отметим, что первым методом Ляпунова исследовать устойчивость решения уравнения Хоффа, заданного в области, не удается, поскольку в нашем случае относительный спектр оператора M пересекается с мнимой осью. Поэтому для нашей задачи был применен метод функций Ляпунова, модифицированный для случая неполных нормированных пространств. В результате получена теорема об устойчивости и асимптотической устойчивости нулевого решения данной задачи.

Ключевые слова

уравнение соболевского типа; фазовое пространство; устойчивость по Ляпунову.

Литература

1. Hoff, N.J. Creep buckling / N.J. Hoff // Aeronautical Quarterly. - 1956. - V. 7, № 1. - P. 1-20.
2. Сидоров, Н.А. Общие вопросы регуляризации в задачах теории ветвления / Н.А. Сидоров. - Иркутск: Изд-во Иркутского гос. ун-та, 1982. - 314 c.
3. Сидоров, Н.А. О применении некоторых результатов теории ветвлений при решении дифференциальных уравнений / Н.А. Сидоров, О.А. Романова // Дифференциальные уравнения. - 1983. - Т. 19, № 9. - С. 1516-1526.
4. Сидоров, Н.А. Обобщенные решения дифференциальных уравнений с фредгольмовым оператором при производной / Н.А. Сидоров, М.В. Фалалеев // Дифференциальные уравнения. - 1987. - Т. 23, № 4. - С. 726-728.
5. Свиридюк, Г.А. Квазистационарные траектории полулинейных динамических уравнений типа Соболева / Г.А. Свиридюк // Изв. РАН. Серия математическая. - 1993. - Т. 57, № 3. - С. 192-207.
6. Свиридюк, Г.А. Фазовое пространство начально-краевой задачи для уравнения Хоффа / Г.А. Свиридюк, В.О. Казак // Математические заметки. - 2002. - Т. 71, № 2. - С. 292-297.
7. Свиридюк, Г.А. Сборка Уитни в фазовом пространстве уравнения Хоффа / Г.А. Свиридюк, И.К. Тринеева // Известия вузов. Математика. - 2005. - № 10. - С. 54-60.
8. Баязитова, А.А. Фазовое пространство начально-краевой задачи для обобщенного уравнения Хоффа / А.А. Баязитова // Вестник МаГУ. Математика. - 2010. - Вып. 12. - С. 15-21.
9. Загребина, С.А. Устойчивость и неустойчивость решений уравнений Хоффа. Численный эксперимент / С.А. Загребина, П.О. Пивоварова // Неклассические уравнения математической физики: сб. науч. работ / под ред. А.И. Кожанова. - Новосибирск, 2010. - С. 88-94.
10. Свиридюк, Г.А. Разрешимость неоднородной задачи для обобщенного фильтрационного уравнения Буссинеска / Г.А. Свиридюк, И.Н. Семенова // Дифференциальные уравнения. - 1988. - Т. 24, № 9. - С. 1607-1611.