Некоторые математические модели фильтрационной теории

Работа посвящена рассмотрению обратных задач для некоторых математических моделей, возникающих в теории фильтрации. Мы рассматриваем обратную задачу об определении неизвестной правой части и коэффициентов в псевдопараболическом уравнении третьего порядка. Уравнения такого типа и более общие уравнения Соболевского типа возникают в теории фильтрации, при описании процессов тепло и массопереноса, физике плазмы и во многих других областях. Задача сводится к некоторому операторному уравнению, разрешимость которого устанавливается при помощи априорных оценок и теоремы о неподвижной точке. Кроме естественных условий гладкости данных, мы требуем также выполнения некоторого условия корректности, которое по существу сводится к условию невырожденности некоторой матрицы, построенной по данным задачи. Формулируются и доказываются теоремы о существовании и единственности решения поставленной задачи. Приводится оценка устойчивости. В линейном случае результат является глобальным по времени, а в нелинейном локальным по времени. В качестве основных пространств рассматриваются пространства С.Л. Соболева.

Ключевые слова

уравнение псевдопараболического типа; теорема существования и единственности решения; обратная задача; краевая задача.

Литература

1. Lyubanova A.Sh., Tani A. On Inverse Problems for Pseudoparabolic and Parabolic Equations of Filtration. Inverse Problems in Science and Engineering, 2011, vol. 19, no. 7, pp. 1023--1042. DOI: 10.1080/17415977.2011.569712
2. Sveshnikov A.G., Alshin A.B., Korpusov M.O., Pletner U.D. Linear and Non-Linear Sobolev-Type Equations. FML, 2007.
3. Bebernes J., Lacey A.A. Global Existence and Finite Time Blow-Up for a Class of Nonlocal Parabolic Problems. Adv. Differ. Equations, 1997, vol. 2, pp. 927-954.
4. Sviridyuk G.A., Fedorov V.E. Linear Sobolev Type Equations and Degenerate Semigroups of Operator. Utrecht: VSP, 2003. 228 p. DOI: 10.1515/9783110915501
5. Chung S.K., Pani A.K. Numerical Methods for the Rosenau Equation. L. Appl. Anal., 2001, vol. 77, no. 3-4, pp. 100-116. DOI: 10.1080/00036810108840914
6. Chen Yu. Remark on the Global Existence for the Generalized Benjamin-Bona-Mahony Equations in Arbitrary Dimension. Appl. Anal., 1988, vol. 30, no. 1-3, pp. 1-15. DOI: 10.1080/00036818808839789
7. Егоров, И.Е. Неклассические дифференциально-операторные уравнения / И.Е. Егоров, С.Г. Пятков, С.В. Попов. - Новосибирск: Наука, 2000. - 336 с.]
8. Gajewski H. Groger K. Zacharias K. Nichtlineare Operatorgleichungen und Operatordifferentialgleichungen. Berlin, Akademie-Verlag, 1974.
9. Showalter R.E. Monotone Operators in Banach Space and Nonlinear Partial Differentail Equations. Providence, AMS, 1997. 278 p.
10. Kozhanov A.I. An Initial-boundary Value Problem for Equations of the Generalized Boussinesq Equation Type with a Nonlinear Source. Math. Notes, 1999, vol. 65, no. 1, pp. 59-63. DOI: 10.1007/BF02675010
11. Gladkov A.L. Unique Solvability of the Cauchy Problem for Certain Quasilinear Pseudoparabolic Equations. Math. Notes, 1996, vol. 60, no. 3, pp. 264-268. DOI: 10.1007/BF02320362
12. Di Benedetto E., Pierre M. On the Maximum Principle for Pseudoparabolic Equations. Indiana Univ. Math. J., 1981, vol. 30, no. 6, pp. 821-854. DOI: 10.1512/iumj.1981.30.30062
13. Begehr H., Dai D. Q. Initial Boundary Value Problem for Nonlinear Pseudoparabolic Equations. Complex Variables, Theory Appl., 1992, vol. 18, no. 1-2, pp. 33-47.
14. Mitidieri E., Pohozhaev S.I. A Priori Estimates and the Absence of Solutions of Nonlinear Equations and Inequalities of Partial. Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics, 2001, vol. 234, no. 3, pp. 1-362.
15. Laptev G.G. About the Absence of Solutions for One Class of Singular Semilinear Differential Inequalities. Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics, 2001, vol. 232, pp. 216-228.
16. Lyubanova A.Sh. Identification of a Coefficient in the Leading Term of a Pseudoparabolic Equation of Filtration. Siberian Mathematical Journal, 2013, vol. 54, no. 6, pp. 1048-1058. DOI: 10.1134/S0037446613060116
17. Asanov A., Atamanov E.R. An Inverse Problem for a Pseudoparabolic Integro-defferential Operator Equation. Siberian Mathematical Journal, 1995, vol. 38, no. 4, pp. 645-655. DOI: 10.1007/BF02107322
18. Mamayusupov M.Sh. The Problem of Determining Coefficients of a Pseudoparabolic Equation. Studies in Integro-differential Equations, Ilim, Frunze, 1983, no. 16, pp. 290-297.
19. Favini A., Lorenzi A. Differential Equations. Inverse an Direct Problems. Tylor & Francis Group, LLC. 2006. DOI: 10.1201/9781420011135
20. Urazaeva A.V., Fedorov V.E. On the Well-Posedness of the Prediction-Control Problem for Certain Systems of Equations. Math. Notes, 2009, vol. 85, no. 3, pp. 426-436. DOI: 10.1134/S0001434609030134
21. Kozhanov A.I. Composite Type Equations and Inverse Problems. Utrecht, VSP, 1999. DOI: 10.1515/9783110943276
22. Кабанихин С.И. Обратные и некоректные задачи. Новосибирск: Сибирское научное издательство, 2009. - 457 с.]
23. Belov Ya.Ya. Inverse Problems for Parabolic Equations. Utrecht, VSP, 2002.
24. Ivanchov M. Inverse Problems for Equations of Parabolic Type. Math. Studies. Monograph Series. V. 10. Lviv, WNTL Publishers, 2003.
25. Isakov V. Inverse Problems for Partial Differential Equations. Berlin, Springer, 2006.
26. Prilepko A.I., Orlovsky D.G., and Vasin I.A. Methods for Solving Inverse Problems in Mathematical Physics. N.Y., Marcel Dekker, Inc. 1999.
27. Pyatkov S.G. On Some Classes of Inverse Problems for Parabolic Equations. J. Inv. Ill-Posed Problems, 2011, vol. 18, no. 8, pp. 917-934.
28. Pyatkov S.G., Samkov M.L. On Some Classes of Coefficient Inverse Problems for Parabolic Systems of Equations. Sib. Adv. in Math., 2012, vol. 22, no. 4, pp. 287-302. DOI: 10.3103/S1055134412040050
29. Pyatkov S.G., Tsybikov B.N. On Some Classes of Inverse Problems for Parabolic and Elliptic Equations. J. Evol. Equat., 2011, vol. 11, no. 1, pp. 155-186. DOI: 10.1007/s00028-010-0087-6
30. Шергин, С.Н. О некоторых классах обратных задач для псевдопараболических уравнений / С.Н. Шергин, С.Г. Пятков // Математические заметки СВФУ. - 2014. - Т. 21, 2. - С. 106-116.
31. Gilbarg D., Trudinger N. Elliptic Differential Equation with Partial Derivative of the Second Order. Berlin, Heidelberg, Springer-Verlag, 2001.
32. Triebel H. Interpolation Theory. Function Space. Differential Operator. Berlin, VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, 1978. 528 p.
33. Krylov N.V. Lectures on Elliptic and Parabolic Equations in Sobolev Spaces. AMS, 2008. DOI: 10.1090/gsm/096
34. Ладыженская, О.А. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа / О.А. Ладыженская, Н.Н. Уральцева. - М.: Наука, 1973.
35. Amann H. Operator-Valued Foutier Multipliers, Vector-valued Besov Spaces and Applications. Mathem. Nachr., 1997, vol. 186, no. 1, pp. 5-56. DOI: 10.1002/mana.3211860102