On the Regularizability Conditions of Integral Equations

Решение интегральных уравнений первого рода представляет собой некорректную задачу. Как известно, все задачи можно разбить на три непересекающихся класса: корректные задачи, некорректные регуляризуемые задачи, некорректные нерегуляризуемые задачи. Задачи из первого класса настолько хороши, что метод регуляризации для них не нужен. Задачи третьего класса настолько плохи, что метод регуляризации к ним не применим. Естественным полем применения метода регуляризации являются
задачи второго класса. Но как узнать, что данное интегральное уравнение принадлежит ко второму, а не к третьему классу. Для этого было построено большое количество достаточных условий регуляризуемости. В данной статье исследуется одна бесконечная серия достаточных условий регуляризуемости интегральных уравнений, построенных с помощью теории двойственности банаховых пространств. Этот метод построения достаточных условий показал свою эффективность при решении некорректных задач. Доказано, что эти условия являются попарно не эквивалентными, даже если ограничиться уравнениями с гладкими симметричными ядрами.

Ключевые слова

интегральные уравнения; регуляризуемость; гладкие симметричные ядра.

Литература

1. Тихонов, А.Н. О решении некорректно поставленных задач и методе регуляризации / А.Н. Тихонов // Докл. АН СССР. - 1963. - Т.`151, № 3. - С. 501-504.
2. Менихес, Л.Д. О регуляризуемости отображений, обратных к интегральным операторам / Л.Д. Менихес // Докл. АН СССР. - 1978. - Т. 241, № 2. - С. 282-285.
3. Винокуров, В.А. Необходимое и достаточное условие линейной регуляризуемости / В.А. Винокуров, Л.Д. Менихес // Докл. АН СССР. - 1976. - Т. 229, № 6. - С. 1292-1294.
4. Менихес, Л.Д. О регуляризуемости некоторых классов отображений, обратных к интегральным операторам / Л.Д. Менихес // Математические заметки. - 1999. - Т. 65, № 2. - С. 222-229.
5. Менихес, Л.Д. Об одном достаточном условии регуляризуемости линейных обратных задач / Л.Д. Менихес // Математические заметки. - 2007. - Т. 82, № 2. - С. 242-247.
6. Менихес, Л.Д. О сравнении условий регуляризуемости интегральных уравнений / Л.Д. Менихес, О.А. Кондратьева // Известия Челябинского научного центра. - 2009. - Вып. 1 (43). - С. 11-15.
7. Менихес, Л.Д. О связи достаточных условий регуляризуемости интегральных уравнений / Л.Д. Менихес // Вестник Южно-Уральского государственного университета. Серия: Математика. Механика. Физика. - 2013. - Т. 5, № 1. - С. 50-54.
8. Менихес, Л.Д. Линейная регуляризуемость отображений, обратных к линейным операторам / Л.Д. Менихес // Известия высших учебных заведений. Математика. - 1979. - № 12. - С. 35-38.
9. Favini, A. Singular Evolution Integro-Differential Equations with Kernels Defined on Bounded Intervals / A. Favini, A. Lorenzi, H. Tanabe // Applicable Analysis. - 2005. - V. 84, № 5. - P. 463-497.
10. Karachik, V.V. Normalized System of Functions with Respect to the Laplace Operator and Its Applications / V.V. Karachik // Journal of Mathematical Analysis and Applications. - 2003. - V. 287, № 2. - P. 577-592.