On Fixed Point Theory and Its Applications to Equilibrium Models

Для заданных множества и (вообще говоря, многозначного) отображения этого множества в себя рассматривается вопрос о существовании неподвижных точек такого отображения, то есть точек, содержащихся в своем образе. Относительно заданных множества и отображения предполагается, что множество не пусто, а отображение определено на всем множестве. В этих условиях дается описание (переопределение) множества неподвижных точек в теоретико-множественных терминах. Это общее представление конкретизируется для случаев, когда множество наделено той или иной топологической структурой, а отображение имеет дополнительные свойства с ней связанные. В частности, предложены необходимые и достаточные условия существования неподвижных точек для случая отображений с замкнутым графиком как в хаусдорфовых топологических пространствах, так и в метрических пространствах. Приведен пример, иллюстрирующий возможности и преимущества предлагаемого подхода. Также даны непосредственные приложения этих результатов к поиску равновесных состояний в игровых задачах: описаны множества седловых точек (аналог теоремы Фана) в задаче о минимаксе и точек равновесия по Нэшу в игре со многими участниками для случаев, когда множества стратегий игроков являются хаусдорфовыми или метризуемыми топологическими пространствами.

Ключевые слова

многозначное отображение; неподвижная точка; седловая точка; равновесие по Нэшу.

Литература

1. Kakutani S. A Generalization of Brouwer's Fixed Point Theorem. Duke Mathematical Journal, 1941, vol. 8, pp. 457-459. DOI: 10.1215/S0012-7094-41-00838-4
2. Park Sehie. Recent Results in Analytical Fixed Point Theory. Nonlinear Analysis, 2005, vol. 63, pp. 977-986. DOI: 10.1016/j.na.2005.02.026
3. Tarski A.A Lattice-Theoretical Fixpoint Theorem and Its Applications. Pacific Journal of Mathematics, 1955, vol. 5, no. 2, pp. 285-309. DOI: 10.2140/pjm.1955.5.285
4. Kantorovitch L. The Method of Successive Approximation for Functional Equations. Acta Mathematica, 1939, December, vol. 71, no. 1, pp. 63-97. DOI: 10.1007/BF02547750
5. Barendregt H. P. Lambda Calculus. Its Syntax and Semantics. North-Holland Publishing Company, 1981.
6. Li Jinlu Several Extensions of the Abian-Brown Fixed Point Theorem and Their Applications to Extended and Generalized Nash Equilibria on Chain-Complete Posets. Journal of Mathematical Analysis and Applications, 2014, vol. 409, no. 2, pp. 1084-1092. DOI: 10.1016/j.jmaa.2013.07.070
7. Fan K. Minimax Theorems. Proceedings of the National Academy of Sciences U.S.A., 1953, vol. 39, pp. 42-47. DOI: 10.1073/pnas.39.1.42
8. Nadler S.B.Jr. Multi-Valued Contraction Mappings. Pacific J. Math, 1969, vol. 30, pp. 475-488. DOI: 10.2140/pjm.1969.30.475
9. Arutyunov A.V. Covering Mappings in Metric Spaces and Fixed Points. Doklady Mathematics, 2007, vol. 76, no. 2, pp. 665-668. DOI:10.1134/S1064562407050079
10. Kuratowski K. Topology. Volume II. Academic Press, New York, 1968.
11. Введение в теорию многозначных отображений и дифференциальных включений / Ю.Г. Борисович, Б.Д. Гельман, А.Д. Мышкис и др. - М.: Либроком, 2011. - 224 с.