Идентификация параметров дробно-дифференциальных моделей аномальной диффузии методом временных интегральных характеристик

Рассматриваются коэффициентные обратные задачи идентификации постоянных коэфициентов дробно-дифференциальных уравнений аномальной диффузии с дробными производными типа Римана - Лиувилля и Капуто. В качестве априорной информации, необходимой для решения обратных задач, выступают известные значения функции концентрации в нескольких внутренних точках расчетной области. Для решения поставленных задач предложены численные алгоритмы, основанные на методе временных интегральных характеристик с интегральным преобразованием Лапласа. Показано, что задачи сводятся к идентификации комплекса, связывающего коэффициент аномальной диффузии и порядок дробного интегродифференцирования. Построены оценки абсолютной погрешности идентификации данного комплекса, посредством минимизации которых находятся оптимальные значения параметра преобразования Лапласа. Предложенные алгоритмы реализованы в виде программного комплекса в пакете Maple.

Ключевые слова

аномальная диффузия; производные дробного порядка; коэффициентная обратная задача; алгоритм идентификации; программный комплекс.

Литература

1. Самко, С.Г. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения / С.Г. Самко, А.А. Килбас, О.И. Маричев. - Минск: Наука и техника, 1987.
2. Podlubny, I. Fractional Differential Equations / I. Podlubny. - San Diego: Academic press, 1999.
3. Kilbas, A.A. Theory and Applications of Fractional Differential Equations / A.A. Kilbas, H.M. Srivastava, J.J. Trujillo. - Amsterdam: Elsevier, 2006.
4. Учайкин, В.В. Метод дробных производных / В.В. Учайкин. - Ульяновск: Артишок, 2008.
5. Anomalous Transport: Foundations and Applications / R. Klages, G. Radons, I.M. Sokolov (eds.). - Berlin: Willey-VCH, 2008.
6. Fractional Dynamics: Recent Advances / J. Klafter, S.,C. Lim, R. Metzler (eds.). - Singapore: World Scientific, 2011.
7. Metzler, R. The Random Walk's Guide to Anomalous Diffusion: A Fractional Dynamic Approach / R. Metzler, J. Klafter // Physics Reports. - 2000. - V. 339. - P. 1-77.
8. Учайкин, В.В. Автомодельная аномальная диффузия и устойчивые законы /В.В. Учайкин // Успехи физичесиких наук. - 2003. - Т. 173, № 8. - C. 847-876.
9. Псху, А.В. Уравнения в частных производных дробного порядка / А.В. Псху. - М.: Наука, 2005.
10. Luchko, Yu. Anomalous Diffusion: Models, Their Analysis, and Interpretation / Yu. Luchko // Advances in Applied Analysis. - Boston: Birkhauser, 2012.
11. Власов, В.В. Теплофизические измерения: справочное пособие / В.В. Власов, Ю.С. Шаталов и др. - Тамбов: Изд. ВНИИРТМаш, 1975.
12. Власов, В.В. Интегральные характеристики в определении коэффициентов параболических систем и уравнений / В.В. Власов, В.Г. Серегина, Ю.С. Шаталов // Инженерно-физический журнал. - 1977. - Т. 32, № 4. - С. 712-718.
13. Шаталов, Ю.С. Интегральные представления постоянных коэффициентов теплопереноса / Ю.С. Шаталов. - Уфа: Изд-во УАИ, 1992.
14. Власов, В.В. Методы и устройства неразрушающего контроля теплофизических свойств материалов массивных тел / В.В. Власов, Ю.С. Шаталов, Е.Н. Зотов, А.А. Чуриков, Н.А. Филин // Измерительная техника. - 1980. - № 6. - С. 42-45.
15. Shatalov, Yu.S. The Problem of Coefficients Identification in the Mathematical Model of the Ion Implantation Diffusion Process / Yu.S. Shatalov, S.Yu. Lukashchuk, Yu.Yu. Rikachev // Inverse Problems in Engineering. - 1999. - V. 7. - P. 267-290.
16. Лукащук, С.Ю. Решение коэффициентных обратных задач для уравнений параболического типа методом интегральных характеристик / С.Ю. Лукащук // Вестник УГАТУ. - 2003. - Т. 4, № 2. - С. 67-71.
17. Lukashchuk, S.Yu. Estimation of Parameters in Fractional Subdiffusion Equations by the Time Integral Characteristics Method / S.Yu. Lukashchuk // Computers and Mathematics with Applications. - 2011. - V. 62, № 3. - P. 834-844.
18. Крылов, В.И. Приближенное вычисление интегралов / В.И. Крылов. - М.: Наука, 1987.
19. Лукащук, С.Ю. АД-ВИХ: идентификация параметров уравнения аномальной диффузии методом временных интегральных характеристик. Свидетельство о государственной регистрации программ для ЭВМ № 2016610761 от 19.01.2016.