Применение разрывного метода галеркина для решения параболических задач в анизотропных средах на треугольных сетках

Предлагается новый численный алгоритм решения параболических начально-краевых задач в анизотропных средах на основе метода Галеркина с разрывными базисными функциями на треугольных сетках. Для применения метода Галеркина с разрывными базисными функциями для решения параболического уравнения с известными начально-краевыми условиями необходимо преобразовать его к системе дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка. Для этого вводятся вспомогательные переменные, представляющие собой компоненты потока. Характерной особенностью данного метода является рассмотрение вспомогательных переменных на двойственной сетке. Двойственная сетка состоит из медианных контрольных объемов и является сопряженной к исходной треугольной сетке. Потоковые значения величин на границе элементов предлагается вычислять с добавлением стабилизирующих добавок. Исследование численной методики проводится на примере решения двумерных параболических начально-краевых задач. Исследован вопрос сходимости и точности численной методики. Приведенные численные результаты показывают возможность применения предлагаемой методики для решения параболических задач в анизотропных средах на треугольных сетках.

Ключевые слова

параболические уравнения; анизотропные среды; метод Галеркина с разрывными базисными функциями; сходимость и точность численного метода.

Литература

1. Cockburn, B. An Introduction to the Discontinuous Galerkin Method for Convection-Dominated Problems / B. Cockburn // Advanced Numerical Approximation of Nonlinear Hyperbolic Equations. - 1998. - V. 1697. - P. 151-268.
2. Флетчер, К. Численные методы на основе метода Галеркина / К. Флетчер. - М.: Мир, 1988.
3. Жалнин, Р.В. О применении разрывного метода Галеркина для численного решения двумерных уравнений диффузионного типа на неструктурированных разнесенных сетках / Р.В. Жалнин, В.Ф. Масягин, Е.Н. Панюшкина // Современные проблемы науки и образования. - 2013. - Т. 6. - URL: www.science-education.ru/113-10929
4. Ладонкина, М.Е. Исследование влияния лимитера на порядок точности решения разрывным методом Галеркина / М.Е. Ладонкина, О.А. Неклюдова, В.Ф. Тишкин // Математическое моделирование. - 2012. - Т. 24, № 12. - С. 124-128.
5. Bassi, F. A High-Order Accurate Discontinuous Finite Element Method for the Numerical Solution of the Compressible Navier - Stokes Equations / F. Bassi, S. Rebay // Journal of Computational Physics. - 1997. - V. 131. - P. 267-279.
6. Arnold, D.N. Unified Analysis of Discontinuous Galerkin Methods for Elliptic Problems / D.N. Arnold, F. Brezzi, B. Cockburn, L.D. Marini // SIAM Journal on Numerical Analysis. - 2002. - V. 29. - P. 1749-1779.
7. Cockburn, B. Runge - Kutta Discontinuous Galerkin Methods for Convection-Dominated Problems / B. Cockburn, C.W. Shu // Journal of Scientific Computing. - 2001. - V. 3. - P. 173-261.
8. Ладонкина, М.Е. О связи разрывного метода Галеркина и методов типа Годунова высокого порядка точности / М.Е. Ладонкина, В.Ф. Тишкин // Препринты ИПМ им. М.В. Келдыша. - 2014. - № 49. - 10 с. - URL: http://library.keldysh.ru/preprint.asp?id=2014-49