On the Concept of Index for Partial Differential Algebraic Equations Arising in Modelling of Processes in Power Plants

В статье рассматриваются некоторые классы линейных и квазилинейных дифференциально-алгебраических уравнений (ДАУ) в частных производных. Под
ДАУ в частных производных в работе понимаются системы с вырожденными во всей области определения матрицами при старших производных искомой вектор-функции. Они не являются системами типа Коши - Ковалевской, и утверждения о разрешимости в общем случае отсутствуют. Конкретным объектом изучения являются эволюционные системы с одной пространственной переменной. Проведены исследования ДАУ высокого порядка, зависящих от параметра. На этой основе введено понятие индекса ДАУ в частных производных. Рассмотрены постановки начально-краевых задач для ДАУ в частных производных. Полученные результаты применяются для анализа моделей процессов тепломассообмена в энергетических установках.

Ключевые слова

дифференциально-алгебраические уравнения; частные производные; интегро-дифференциальные уравнения; пространство решений; индекс; модели энергетических установок.

Литература

1. Соболев, C.Л. Об одной новой задаче математической физики / С.Л. Соболев // Известия АН СССР. Серия математическая. - 1954. - Т. 18. - С. 3-50.
2. Свиридюк, Г.А. Квазистационарные траектории полулинейных динамических уравнений типа Соболева / Г.А. Свиридюк // Известия РАН. Серия математическая. - 1993. - Т. 57, № 3. - С. 192-207.
3. Свиридюк, Г.А. К общей теории полугрупп операторов / Г.А. Свиридюк // Успехи математических наук. - 1994. - Т. 49, № 4. - С. 47-74.
4. Свиридюк, Г.А. Линейные уравнения типа Соболева и сильно непрерывные полугруппы разрешающих операторов с ядрами / Г.А. Свиридюк // Доклады Академии наук. - 1994. - Т. 337, № 5. - С. 581-584.
5. Sviridyuk, G.A. Linear Sobolev Type Equations and Degenerate Semigroups of Operators / G.A. Sviridyuk, V.E. Fedorov. - Utrecht, Boston, K'oln: VSP, 2003.
6. Свиридюк, Г.А. Линейные уравнения соболевского типа / Г.А. Свиридюк, В.Е. Федоров. - Челябинск: Челябинский гос. ун-т, 2003.
7. Zamyshlyaeva, A.A. Nonclassical Equations of Mathematical Physics. Linear Sobolev Type Equations of Higher Order / A.A. Zamyshlyaeva, G.A. Sviridyuk // Вестник ЮУрГУ. Серия: Математика. Механика. Физика. - 2016. - V. 8, № 4. - P. 5-16.
8. Таиров, Э.А. Интегральная модель нелинейной динамики парогенерирующего канала на основе аналитических решений / Э.А. Таиров, В.В. Запов // Вопросы атомной науки и техники. Серия: Физика ядерных реакторов. - 1991. - Вып. 3. - С. 14-20.
9. Сидоров, Н.А. Обобщенные решения дифференциальных уравнений с фредгольмовым оператором при производной / Н.А. Сидоров, М.В. Фалалеев // Дифференциальные уравнения. - 1987. - Т. 23, № 4. - С. 726-728.
10. Сидоров, Н.А. Уравнения с частными производными с оператором конечного индекса при главной части / Н.А. Сидоров, О.А. Романова, Е.Б. Благодатская // Дифференциальные уравнения. - 1994. - Т. 30, № 44. - С. 729-731.
11. Фалалеев, М.В. Обобщенные решения вырожденных интегро-дифференциальных уравнений в банаховых пространствах и их приложения / М.В. Фалалеев, С.С. Орлов // Труды ИММ УрО РАН. - 2012. - Т. 18, № 4. - С. 286-297.
12. Крейн, С.Г. Сингулярно возмущенные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве / С.Г. Крейн, К.И. Чернышов. - Новосибирск: Ин-т математики, 1979.
13. Favini, A. Multivalued Linear Operators and Degenerate / A. Favini, A. Yagi // Annali di Matematica Pura ed Applicata. - 1993. - V. 163, № 1. - P. 353-384.
14. Иванов, В.К. Дифференциально-операторные уравнения и некорректные задачи / В.К. Иванов, И.В. Мельникова, А.И. Филинков. - М.: Физматлит, 1995.
15. Pyatkov, S.G. Operator Theory. Nonclassical Problems / S.G. Pyatkov. - Utrecht: VSP, 2002.
16. Kozhanov, A.I. Composite Type Equations and Inverse Problems / A.I. Kozhanov. - Utrecht: VSP, 1999.
17. Паламодов, В.П. Линейные дифференциальные операторы с постоянными коэффициентами / В.П. Паламодов. - М.: Наука, 1967.
18. Демиденко, Г.В. Уравнения и системы, не разрешенные относительно старшей производной / Г.В. Демиденко, С.В. Успенский. - Новосибирск: Научная книга, 1998.
19. Бояринцев, Ю.Е. Применение обобщенных обратных матриц к решению и исследованию систем дифференциальных уравнений с частными производными первого порядка / Ю.Е. Бояринцев // Методы оптимизации и исследование операций. - Иркутск: СЭИ СО АН СССР, 1984. - С. 123-141.
20. Martinson, W.S. A Differentiation Index for Partial Differential-Algebraic Equations / W.S. Martinson, P.I. Barton // SIAM Journal on Scientific Computing. - 2000. - V. 21, № 6. - P. 2295-2316.
21. Campbell, S.L. The Index of an Infinite Dimensional Implicit System / S.L Campbell, W. Marzalek // Mathematical and Computer Modelling of Systems. - 1999. - V. 5, № 1. - P. 18-42.
22. Бормотова, О.В. О методах численного решения и исследования систем не типа Коши - Ковалевской / О.В. Бормотова, В.Ф. Чистяков // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 2004. - Т. 44, № 8. - С. 1380-1387.
23. Гайдомак, С.В. О системах не типа Коши - Ковалевской индекса (1,k) / С.В. Гайдомак, В.Ф. Чистяков // Вычислительные технологии. - 2005. - Т. 10, № 2. - С. 45-59.
24. Бормотова, О.В. О разрешимости вырожденных систем дифференциальных уравнений в частных производных / О.В. Бормотова, С.В. Гайдомак, В.Ф. Чистяков // Известия вузов. Математика. - 2005. - № 4. - C. 18-29.
25. Lamour, R. Differential-Algebraic Equations: A Projector Based Analysis / R. Lamour, R. Marz, C. Tischendorf. - Berlin: Springer, 2013.
26. Годунов, С.К. Уравнения математической физики / С.К. Годунов. - М.: Наука, 1971.
27. Moore, E.H. On the Reciprocal of the General Algebraic Matrix / E.H. Moore // Bulletin of the American Mathematical Society. - 1920. - V. 26, № 9. - P. 394-395.
28. Чистяков, В.Ф. Алгебро-дифференциальные операторы с конечномерным ядром / В.Ф. Чистяков. - Новосибирск: Наука, 1996.
29. Бояринцев, Ю.Е. Алгебро-дифференциальные системы. Методы решения и исследования / Ю.Е. Бояринцев, В.Ф. Чистяков. - Новосибирск: Hаука, 1998.
30. Bulatov, M.V. Application of Matrix Polynomials to the Analysis of Linear Differential-Algebraic Equations / M.V. Bulatov, M.-G. Lee. // Differential Equations. - 2008. - V. 44, № 10. - P. 1353-1360.
31. Булатов, М.В. Об одном семействе матричных троек / М.В. Булатов // Ляпуновские чтения и презентация информационных технологий. - Иркутск: ИДСТУ СО РАН, 2002. - С. 10.
32. Бояринцев Ю.Е. Замечание о неявной разностной схеме, аппроксимирующей систему уравнений Стокса / Ю.Е. Бояринцев, Т.П. Бояринцева // Численные методы анализа и их приложения. - Иркутск: СЭИ СО АН СССР, 1983. - С. 127-131.
33. Chistyakova E.V. Investigation of the Unsteady-State Hydraulic Networks by Means of Singular Systems of Integral Differential Equations / E.V. Chistyakova, Nguyen Duc Bang // Вестник ЮУрГУ. Серия: Математическое моделирование и программирование. - 2016. - Т. 9, № 1. - C. 59-72.
34. Бояринцев, Ю.Е. Регулярные и сингулярные системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений / Ю.Е. Бояринцев. - Новосибирск: Наука, 1980.