Solution of Irregular Systems of Partial Differential Equations Using Skeleton Decomposition of Linear Operators

Рассматриваются линейные системы уравнений с частными производными. В главной части систем стоит линейный необратимый оператор, допускающий скелетное разложение. Входящие в систему дифференциальные операторы имеют достаточно гладкие коэффициенты. Области определения дифференциальных операторов в конкретных ситуациях, рассмотренных в работе, состоят из линейных многообразий достаточно гладких функций со значениями в банаховом пространстве подчиненных дополнительным граничным условиям. Вводится понятие скелетной цепочки линейного оператора, стоящего в главной части системы. Предполагается, что этот оператор порождает скелетную цепочку конечной длины. В этом случае решение исходной системы сводится к регулярной расщепленной системе уравнений, разрешенных относительно старших дифференциальных выражений с определенными начально-краевыми условиями. Указаны возможные обобщения предложенного подхода и рассмотрено его приложение к постановке граничных задач в нелинейном случае. Результаты дополняют элементы теории дифференциальных уравнений с вырождениями, заложенные в монографиях MR 87a:58036, Zbl 1027.47001.

Ключевые слова

некорректная задача; задача Коши; необратимый оператор; скелетное разложение; скелетные цепочки, граничные задачи.

Литература

1. Petrowsky I.G., Oleinik O.A. Selected Works. Part I: Systems of Partial Differential Equations and Algebraic Geometry. Amsterdam, Gordon and Breach Publishers, 1996.
2. Voropai N.I., Kurbatsky V.G., Tomin N.V., Panasetsky D.A., Sidorov D.N. Complex intellektualnih sredstv dlya predotvrashenia krupnih avarii v elektroenergenicheskih sistemah [Intellectual Algorithms for Major Accidents Prevention in Electric Power Systems]. Novosibirsk, Nauka, 2016.
3. Sidorov N.A. Obshchie voprosy regulyarizatsii v zadachakh teorii vetvleniya [General Regularization Questions in Problems of Bifurcation Theory]. Irkutsk, Izdatel'stvo Irkutskogo Universiteta, 1982.
4. Sidorov N., Sidorov D., Li Y. Skeleton Decomposition of Linear Operators in the Theory of Degenerate Differential Equations. 2015. arXiv:1511.08976. 4 p.
5. Sidorov N., Loginov B., Sinitsyn A., Falaleev M. Lyapunov - Schmidt Methods in Nonlinear Analysis and Applications. Springer Netherlands, 2013. DOI 10.1007/978-94-017-2122-6
6. Sviridyuk G.A., Fedorov V.E. Linear Sobolev Type Equations and Degenerate Semigroups of Operators. Utrecht, Boston, Koln, VSP, 2003. DOI: 10.1515/9783110915501
7. Zamyshlyaeva A.A., Tsyplenkova O.N. Optimal Control of Solutions of the Showalter - Sidorov - Dirichlet Problem for the Boussinesq - L'ove Equation. Differential Equations, 2013, vol. 49, issue 11, pp. 1356-1365. DOI: 10.1134/S0012266113110049
8. Keller A.V., Shestakov A.L., Sviridyuk G.A., Khudyakov Yu.V. The Numerical Algorithms for the Measurement of the Deterministic and Stochastic Signals. Semigroups of Operators - Theory and Applications, Springer International Publishing, 2015, vol. 113, pp. 183-195.
9. Sidorov D. Integral Dynamical Models: Singularities, Signals and Control. Singapore, London, World Scientific, 2015.
10. Li Y., Han J., Cao Y., Li Yu., Xiong J., Sidorov D., Panasetsky D. A Modular Multilevel Converter Type Solid State Transformer with Internal Model Control Method. International Journal of Electrical Power & Energy Systems, 2017, vol. 85, pp. 153-163. DOI: 10.1016/j.ijepes.2016.09.001
11. Gantmacher F.R. The Theory of Matrices. N.-Y., Chelsea, 1959.
12. Tikhonov A.N., Samarskii A.A. Equations of Mathematical Physics. Courier Corporation, 2013.
13. Sobolev S.L. [The Cauchy Problem for a Special Case of System That Are not of Kovalevskaya Type]. Doklady akademii nauk SSSR, 1952, vol. 82, no. 2, pp. 1007-1009. (in Russian)
14. Loginov B.V., Rousak Yu.B., Kim-Tyan L.R. Differential Equations with Degenerate, Depending on the Unknown Function Operator at the Derivative. Proceedings of the Seventh International Conference on Differential and Functional-Differential Equations, 2016, pp. 119-147.