Локальная разрешимость и разрушение решения одного уравнения с квадратичной некоэрцитивной нелинейностью

Рассмотрена начально-краевая задача для уравнения ионно-звуковых волн в плазме. При этом распределение Больцмана плотности электронов приближено квадратичной функцией. Для рассмотренной задачи доказана локальная (по времени) разрешимость и проведено аналитико-численное исследование разрушения решения. Методом пробных функций получены достаточные условия разрушения решения за конечное время и оценка сверху на время разрушения. В конкретных численных примерах эти оценки уточнены численно методом сгущения сеток по Ричардсону. Промежуток времени для численного счета выбирается согласно аналитически полученной оценке сверху на время разрушения решения. В свою очередь, численное моделирование уточняет момент и характер этого разрушения. В частности, показано распространение разрушения в пространстве. Таким образом, аналитическая и численная части исследования взаимно дополняют друг друга.

Ключевые слова

разрушение решения; нелинейная начально-краевая задача; уравнение соболевского типа; экспоненциальная нелинейность; экстраполяция по Ричардсону.

Литература

1. Корпусов, М.О. Критические показатели мгновенного разрушения или локальной разрешимости нелинейных уравнений соболевского типа / М.О. Корпусов // Известия РАН. Серия математическая. - 2015. -Т. 79, № 5. - C. 103-162.
2. Korpusov, M.O. Blow-up for One Sobolev Problem: Theoretical Approach and Numerical Analysis / M.O. Korpusov, D.V. Lukyanenko, A.A. Panin, E.V. Yushkov // Journal of Mathematical Analysis and Applications. - 2016. - V. 442, № 2. - P. 451-468.
3. Korpusov, M.O. Blow-up Phenomena in the Model of a Space Charge Stratification in Semiconductors: Analytical and Numerical Analysis / M.O. Korpusov, D.V. Lukyanenko, A.A. Panin, E.V. Yushkov // Mathematical Methods in the Applied Sciences. - 2017. - V. 40, № 7. - P. 2336-2346.
4. Корпусов, М.О. О разрушении за конечное время решения начально-краевой задачи для нелинейного уравнения ионно-звуковых волн / М.О. Корпусов // Теоретическая и математическая физика. - 2016. - Т. 187, № 3. - C. 447-454.
5. Панин, А.А. О локальной разрешимости и разрушении решения абстрактного нелинейного интегрального уравнения Вольтерра / А.А. Панин // Математические заметки. - 2015. - Т. 97, № 6. - C. 884-903.
6. Hairer, E. Solving of Ordinary Differential Equations / E. Hairer, G. Wanner. - Berlin; Heidelberg: Spinger-Verlag, 2002.
7. Калиткин, Н.Н. Численные методы решения жестких систем / Н.Н. Калиткин // Математическое моделирование. - 1995. - Т. 7, № 5. - С. 8-11.
8. Rosenbrock, H.H. Some General Implicit Processes for the Numerical Solution of Differential Equations / H.H. Rosenbrock // The Computer Journal. - 1963. -V. 5, № 4. - P. 329-330.
9. Альшин, А.Б. Схемы Розенброка с комплексными коэффициентами для жестких и дифференциально-алгебраических систем / А.Б. Альшин, Е.А. Альшина, Н.Н. Калиткин, А.Б. Корягина // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 2006. - Т. 46, № 8. - C. 1392-1414.
10. Альшина, Е.А. Диагностика особенностей точного решения при расчетах с контролем точности / Е.А. Альшина, Н.Н. Калиткин, П.В. Корякин // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 2005. - Т. 45, № 10. - C. 1837-1847.
11. Al'shin A.B. Numerical Diagnosis of Blow-up of Solutions of Pseudoparabolic Equations / A.B. Al'shin, E.A. Al'shina // Journal of Mathematical Sciences. - 2008. - V. 148, № 1. - C. 143-162.
12. Вычисления на квазиравномерных сетках / Н.Н. Калиткин, А.Б. Альшин, Е.А. Альшина, Б.В. Рогов. - М.: Физматлит, 2005.