Inverse Problems for Mathematical Models of Quasistationary Electromagnetic Waves in Anisotropic Nonmetallic Media with Dispersion

В работе рассматриваются обратные задачи эволюционного типа для математических моделей квазистационарных электромагнитных волн. В модели предполагается, что длина волны мала по сравнению с пространственными неоднородностями. Вводя электрический и магнитный потенциал получаем эллиптическое уравнение второго порядка по пространственным переменным, содержащее интегральные слагаемые типа свертки по времени. После дифференцирования по времени задача сводится к уравнению составного типа с интегральным слагаемым. Определению вместе с решением подлежат неизвестные коэффициенты в интегральном операторе. Дополнительно к краевым условиям задаются условия переопределения в виде заданного набора функционалов от решения, которые могут иметь произвольный вид (интегралы от решения с весом, значения решения в отдельных точках и пр.). В качестве основных пространств рассматриваются пространства С.Л. Соболева. Доказываются теоремы о существовании и единственности решения поставленной задачи в целом по времени, приводится оценка устойчивости.

Ключевые слова

уравнения соболевского типа; эллиптическое уравнение; уравнения с памятью; обратная задача; краевая задача.

Литература

1. Свешников, А.Г. Линейные и нелинейные уравнения cоболевского типа / А.Г. Свешников, А.Б. Альшин, М.О. Корпусов, Ю.Д. Плетнер. - М.: Физматлитература, 2007.
2. Габов, С.А. Линейные задачи теории нестационарных внутренних волн / С.А. Габов, А.Г. Свешников. - М.: Наука, 1990.
3. Lorenzi, A. Direct and Inverse Problems in the Theory of Materials with Memory / A. Lorenzi, I. Paparone // Rendiconti del Seminario matematico della Universita di Padova. - 1992. - V. 87. - P. 105-138.
4. Janno, J. Inverse Problems for Identification of Memory Kernels in Viscoelasticity / J. Janno, L. Von Wolfersdorf // Mathematical Methods in the Applied Sciences. - 1997. - V. 20. - P. 291-314.
5. Durdiev, D.K. Inverse Problem of Determining the One-Dimensional Kernel of the Viscoelasticity Equation in a Bounded Domain / D.K. Durdiev, Zh.Sh. Safarov // Mathematical Notes. - 2015. - V. 97, № 6. - P. 867-877.
6. Colombo, F. An Inverse Problem for a Phase-Field Model in Sobolev Spaces. Nonlinear Elliptic and Parabolic Problems / F. Colombo, D. Guidetti // Progress in Nonlinear Differential Equations and Their Applications. - V. 64. - Basel: Birkh'auser Verlag, 2005. - P. 189-210.
7. Guidetti, D. A Mixed Type Identification Problem Related to a Phase-Field Model with Memory / D. Guidetti, A. Lorenzi // Osaka Journal of Mathematics. - 2007. - V. 44. - P. 579-613.
8. Colombo, F. A Global in Time Existence and Uniqueness Result for a Semilinear Integrodifferential Parabolic Inverse Problem in Sobolev Spaces / F. Colombo, D. Guidetti // Mathematical Models and Methods in Applied Sciences. - 2007. - V. 17, № 4. - P. 537-565.
9. Коломбо, Ф. О некоторых методах решения интегрально-дифференциальных обратных задач параболического типа / Ф. Коломбо // Вестник ЮУрГУ. Серия: Математическое моделирование и программирование. - 2015. - Т. 8, № 3. - С. 95-115.
10. Favini, A. Identication Problems for Singular Integro-Differential Equations of Parabolic Type / A. Favini, A. Lorenzi // Nonlinear Analysis. - 2004. - V. 56, № 6. - P. 879-904.
11. Lorenzi, A. Inverse and Direct Problems for Nonautonomous Degenerate Integro-Differential Equations of Parabolic Type with Dirichlet Boundary Conditions / A. Lorenzi, H. Tanabe // Differential Equations: Inverse and Direct Problems. Lecture Notes in Pure and Applied Mathematics. - Boca Raton, London, N.Y.: Chapman and Hall/CRC Taylor and Francis Group, 2006. - V. 251. - P. 197-244.
12. Abaseeva, N. Identification Problems for Nonclassical Integro-Differential Parabolic Equations / N. Abaseeva, A. Lorenzi // Journal of Inverse and Ill-Posed Problems. - 2005. - V. 13, № 6. - P. 513-535.
13. Асанов, А. Обратная задача для операторного интегро-дифференциального псевдопараболического уравнения / А. Асанов, Э.Р. Атаманов // Сибирский математический журнал. - 1995. - Т. 36, № 4. - С. 752-762.
14. Avdonin, S.A. Inverse Problems for the Heat Equation with Memory / S.A. Avdonin, S.A. Ivanov, J. Wang. - 2017. - 10 p. - URL: https://arxiv.org/abs/1612.02129 (дата обращения: 9 февраля 2018 г.)
15. Pandolfi, L. Identification of the Relaxation Kernel in Diffusion Processes and Viscoelasticity with Memory via Deconvolution / L. Pandolfi. - 2016. - 15 p. - URL: https://arxiv.org/abs/1603.04321 (дата обращения: 9 февраля 2018 г.)
16. Денисов, А.М. Обратная задача для квазилинейного интегро-дифференциального уравнения / А.М. Денисов // Дифференциальные уравнения. - 2001. - Т. 37, № 10. - C. 1350-1356.
17. Triebel, H. Interpolation Theory. Function Spaces. Differential Operators / H. Triebel. - Berlin: VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, 1978.
18. Ладыженская, О.А. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа / О.А. Ладыженская, Н.Н. Уральцева. - М.: Наука, 1973.
19. Гилбарг, Д. Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка / Д. Гилбарг, Н. Трудингер. - М.: Наука, 1989.
20. Maugeri, A. Elliptic and Parabolic Equations with Discontinuous Coefficients / A. Maugeri, D.K. Palagachev, L.G. Softova. - Berlin: Wiley-VCH Verlag, 2000.