Разработка и анализ быстрого псевдоспектрального метода решения нелинейных задач Дирихле

Разработан метод численного решения 1D, 2D и 3D краевых задач Дирихле для нелинейных уравнений эллиптического типа. Метод основан на применении чебышевских приближений искомой функции, не имеющих насыщения, и нового подхода к формированию и решению задач линейной алгебры при дискретизации исходных дифференциальных уравнений. При этом дифференциальные операторы аппроксимируются с помощью матриц, а само уравнение (в 2D и 3D случаях) - с помощью уравнения Сильвестра, либо его тензорного обобщения. В тестовых задачах с решениями различной степени гладкости показана зависимость порядка сходимости предложенного метода от гладкости искомого решения, строго соответствующая оценкам погрешности наилучших полиномиальных приближений. Указанные свойства свидетельствуют об отсутствии насыщения алгоритма и обеспечивают низкий расход памяти и машинного времени при численном анализе задач, решения которых имеют высокий порядок гладкости.

Ключевые слова

чебышевские приближения; краевая задача; нелокальный метод без насыщения; уравнение Сильвестра; метод установления.

Литература

1. Бабенко, К.И. Основы численного анализа / К.И. Бабенко. - М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986.
2. Бабенко, К.И. О явлении насыщения в численном анализе / К.И. Бабенко // Доклады АН СССР. - 1978. - Т. 241, № 3. - С. 505-508.
3. Семисалов, Б.В. Нелокальный алгоритм поиска решений уравнения Пуассона и его приложения / Б.В. Семисалов // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 2014. - Т. 54, № 7. - C. 1110-1135.
4. Trefethen, L.N. Approximation Theory and Approximation Practice / L.N. Trefethen. - Philadelphia: SIAM, 2013.
5. Дзядык, В.К. Введение в теорию равномерного приближения функций полиномами / В.К. Дзядык. - М.: Наука, 1977.
6. Blokhin, A.M. Numerical Method for 2D Simulation of a Silicon MESFET with a Hydrodynamical Model Based on the Maximum Entropy Principle / A.M. Blokhin, A.S. Ibragimova // SIAM Journal Scientific Computing. - 2009. - V. 31, № 3. - P. 2015-2046.
7. Белов, А.А. Эволюционная факторизация и сверхбыстрый счет на установление / А.А. Белов, Н.Н. Калиткин // Математическое моделирование. - 2014. - Т. 26, № 9. - С. 47-64.
8. Белых, В.Н. Особенности реализации ненасыщаемого численного метода для внешней осесимметричной задачи Неймана / В.Н. Белых // Сибирский математический журнал. - 2013. - Т. 54, № 6. - С. 1237-1249.
9. Boyd, J. Chebyshev and Fourier Spectral Methods / J. Boyd. - Mineola; N.Y.: University of Michigan, 2000.