The Rate of Convergence of Hypersingular Equations Numerical Computation

Развиты численные методы решения гиперсингулярных уравнений на основе полиномов Чебышева второго рода с весом, учитывающим физические условия Мейкснера на ребре. Используя аналитический вид матрицы интегрального оператора с логарифмической особенностью, получены оценки скорости сходимости. Рассмотрена модель дельта функции, показана ее неприменимость в задачах дифракции и вибраторных антенн. Ранее был предложен численно-аналитический метод решения задач возбуждения вибраторных антенн. В настоящей работе впервые дано обоснование численно-аналитического метода. В отличие от метода редукции, численно-аналитический метод демонстрирует надежную сходимость, как в задачах дифракции, так и в задачах возбуждения антенн. Особенность задач возбуждения заключается в том, что правая часть гиперсингулярного уравнения локализована в небольшой, по сравнению с характерными размерами антенны области. Математически это означает, что правая часть гиперсингулярного уравнения разлагается в медленно-сходящийся ряд. Подобным свойством также обладает и решение уравнения. Именно поэтому метод редукции недостаточно эффективен. Рассмотрен пример численного решения. Показана применимость развитых методов для исследования широкого круга задач дифракции.

Ключевые слова

гиперсингулярный интеграл; полином Чебышева; скорость сходимости; матрица оператора; метод редукции; аналитический; второго рода.

Литература

1. Эминова, В.С. Обоснование метода Галеркина для гиперсингулярных уравнений / В.С. Эминова, С.И. Эминов // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 2016. - Т. 56, № 3. - С. 432-440.
2. Rudin, W. Functional Analysis / W. Rudin. - N.Y.: McGRAW-HILL, 1973.
3. Прудников, А.П. Интегралы и ряды. Специальные функции / А.П. Прудников, Ю.А. Брычков, О.И. Маричев. - М.: Наука, 1983.
4. Вычислительные методы в электродинамике. - М.: Наука, 1977.
5. Сукачева, Т.Г. Задача Тейлора для модели несжимаемой вязкоупругой жидкости нулевого порядка / Т.Г. Сукачева, О.П. Матвеева // Дифференциальные уравнения. - 2015. - Т. 51, № 6. - С. 771-779.