Boundary Inverse Problem for Star-Shaped Graph with Different Densities Strings-Edges

Работа посвящена математическому моделированию звездообразных геометрических графов с n струнами-ребрами различной плотности и решению граничной обратной спектральной задачи для дифференциальных операторов Штурма - Лиувилля на этих графах. Ранее было показано, что, если струны имеют одинаковую длину и плотность, то коэффициенты жесткости пружин на концах струн восстанавливаются по собственным частотам неоднозначно. Они находятся с точностью до перестановок их местами. В настоящей статье показано, что, если струны имеют разную плотность, то коэффициенты жесткости пружин на концах струн восстанавливаются по всем собственным частотам однозначно. Приведены контрпримеры, показывающие, что для однозначного восстановления коэффициентов жесткостей пружинок на n тупиковых вершинах графа недостаточно использования n собственных частот. Приводятся также примеры, показывающие, что для однозначного восстановления коэффициентов жесткостей пружин на n концах струн достаточно использовать n+1 собственную частоту. Таким образом, однозначность или неоднозначность восстановления коэффициентов жесткостей пружин на концах струн зависят от того, являются ли плотности струн одинаковыми или различными.

Ключевые слова

собственные частоты; звезднообразный граф; обратные задачи; струны; плотности; краевые условия.

Литература

1. Levitan, B.M. Inverse Sturm - Liouville problems / B.M. Levitan. - Utrecht: VNU Science Press, 1987.
2. Marchenko, V.A. Sturm - Liouville Operators and Applications / V.A. Marchenko. - Basel; Boston; Stuttgart: Birkhauser, 1986.
3. Naimark, M.A. Linear Differential Operators. Part II. Linear Differential Operators in Hilbert Space / M.A. Naimark. - London, Toronto, Wellington, Sydney: Frederick Ungar Publishing, 1968.
4. Levitan, B.M. Determination of a Differential Equation by Two of Its Spectra / B.M. Levitan, M.G. Gasymov // Russian Mathematical Surveys. - 1964. - V. 19, № 2. - P. 1-63.
5. Гасымов, М.Г. Обратная задача для оператора Штурма - Лиувилля с неразделенными самосопряженными граничными условиями / М.Г. Гасымов, И.M. Гусейнов, И.M. Набиев // Сибирский математический журнал. - 1991. - Т. 31, № 6. - С. 46-54.
6. Panakhov, E.S. Reconstruction Formula for the Potential Function of Sturm - Liouville Problem with Eigenparameter Boundary Condition / E.S. Panakhov, H. Koyunbakan, Ic. Unal // Inverse Problems in Science and Engineering. - 2010. - V. 18, № 1. - P. 173-180.
7. Mamedov, Kh.R. A Uniqueness Theorem for a Sturm - Liouville Equation with Spectral Parameter in Boundary Conditions / Kh.R. Mamedov, F.A. Cetinkaya // Applied Mathematics and Information Sciences. - 2015. - V. 9, № 2. - P. 981-988.
8. Sadovnichii, V.A. General Inverse Sturm - Liouville Problem with Symmetric Potential / V.A. Sadovnichii, Ya.T. Sultanaev, A.M. Akhtyamov // Azerbaijan Journal of Mathematics. - 2015. - V. 5, № 2. - P. 96-108.
9. Akhtyamov, A.M. Inverse Problem for the Diffusion Operator with Symmetric Functions and General Boundary Conditions / A.M. Akhtyamov, V.A. Sadovnichii, Ya.T. Sultanaev // Eurasian Mathematical Journal. - 2017. - V. 8, № 1. - P. 10-22.
10. Kadchenko, S.I. A Numerical Method for Solving Inverse Problems Generated by the Perturbed Self-Adjoint Operators / S.I. Kadchenko // Вестник ЮУрГУ. Серия: Математическое моделирование и программирование. - 2013. - Т. 6, № 4. - С. 15-25.
11. Kadchenko, S.I. A Numerical Method for Inverse Spectral Problems / S.I. Kadchenko, G.A. Zakirova // Вестник ЮУрГУ. Серия: Математическое моделирование и программирование. - 2015. - Т. 8, № 3. - С. 116-126.
12. Покорный, Ю.В. Дифференциальные уравнения на графах / Ю.В. Покорный, O.В. Пенкин, В.Л. Прядиев, A.В. Боровских, K.П. Лазарев, С.A. Шабров. - M.: Физмалит, 2005.
13. Faddeev, M.D. Model of Free Electrons and the Scattering Problem / M.D. Faddeev, B.S. Pavlov // Theoretical and Mathematical Physics. - 1983. - V. 55, № 2. - P. 485-492.
14. Kottos, T. Quantum Chaos on Graphs / T. Kottos, U. Smilansky // Physical Review Letters. - 1997. - V. 79. - P. 4794-4797.
15. Langese, J.E. Modelling, Analysis and Control of Dynamic Elastic Multi-Link Structures / J.E. Langese, G. Leugering, J.P. Schmidt. - Boston: Birkh'auser, 1994.
16. Pokornyi, Yu.V. Differential Equations on Networks (Geometric Graphs) / Yu.V. Pokornyi, A.V. Borovskikh // Journal of Mathematical Sciences. - 2004. - V. 119, № 6. - P. 691-718.
17. Pokornyi, Yu.V. The Qualitative Sturm - Liouville Theory on Spatial Networks / Yu.V. Pokornyi, V. Pryadiev // Journal of Mathematical Sciences. - 2004. - V. 119, № 6. - P. 788-835.
18. Sobolev, A. Schr'odinger Operator on Homogeneous Metric Trees: Spectrum in Gaps / A. Sobolev, M. Solomyak // Reviews in Mathematical Physics. - 2002. - V. 14, № 5. - P. 421-467.
19. Belishev, M.I. Boundary Spectral Inverse Problem on a Class of Graphs (Trees) by the BC Method / M.I. Belishev // Inverse Problems. - 2004. - V. 20. - P. 647-672.
20. Brown, B.M. A Borg - Levinson Theorem for Trees / B.M. Brown, R. Weikard // Proceedings of the Royal Society. A Mathematical Physical and Engineering Sciences. - 2005. - V. 464, № 2062. - P. 3231-3243.
21. Свиридюк, Г.A. Устойчивость решений линейных уравнений Осколкова на геометрическом графе / Г.A. Свиридюк, A.С. Шипилов // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия: Физико-математические науки. - 2009. - Т. 19, № 2. - С. 9-16.
22. Свиридюк, Г.A., Устойчивость уравнения Хоффа на графе / Г.A. Свиридюк, С.A. Загребина, П.O. Пивоварова // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия: Физико-математические науки. - 2010. - Т. 20, № 1. - С. 6-15.
23. Ахтямов, A.M. Теория идентификации граничных условий и ее приложений / A.M. Ахтямов. - M.: Физмалит, 2009.
24. Sadovnichii, V.A. Multiparameter Inverse Spectral Problems and Their Applications / V.A. Sadovnichii, Ya.T. Sultanaev, N.F. Valeev // Doklady Mathematics. - 2009. - V. 79, № 3. - P. 390-393.
25. Мартынова, Ю.В. Модель обратной обратной спектральной задачи для оператора Штурма - Лиувилля на геометрическом графе / Мартынова Ю.В. // Вестник Башкирского университета. - 2011. - Т. 16, № 1. - С. 4-10.
26. Ахтямов, A.M., Идентификация параметров упругого крепления механической системы от струн / A.M. Ахтямов, З.Ф. Аксенова // Современные проблемы науки и образования. - 2015. - № 1. - URL: www.science-education.com/121-18706.
27. Kadchenko, S.I. Spectral Problems on Compact Graphs / S.I. Kadchenko, S.N. Kakushkin, G.A. Zakirova // Вестник ЮУрГУ. Серия: Математическое моделирование и программирование. - 2017. - Т. 10, № 3. - С. 156-162.
28. Akhtyamov, A.M. Identification of Boundary Conditions at Both Ends of a String from the Natural Vibration Frequencies / A.M. Akhtyamov, I.M. Utyashev // Acoustical Physics. - 2015. - V. 61, № 6. - P. 615-622.