Linearization of Differential Algebraic Equations with Integral Terms and Their Application to the Thermal Energy Modelling

Моделирование различных естественных и технических процессов часто приводит к системам, которые включают в себя обыкновенные дифференциальные уравнения и связанные с ними алгебраические соотношения. В данной работе изучаются системы квазилинейных интегро-дифференциальных уравнений с вырожденной матрицей в области определения при производной искомой вектор-функции. Такие системы можно рассматривать как дифференциально-алгебраические уравнения, возмущенные операторами Вольтерра. Получены условия разрешимости возмущенных систем и начальных задач для них, обсуждается влияние малых возмущений входных данных на решение начальных задач. Рассмотрены варианты линеаризации таких задач на основе метода Ньютона. Обсуждаются модели из области теплоэнергетики, и как пример рассматривается гидравлическая цепь, представленная в виде набора взаимосвязанных элементов, по которым течет жидкость. Численные эксперименты на основе неявной схемы Эйлера показали, что модель прямоточного котла с турбиной и системой регенерации имеет решение, которое стягивается к стационарному режиму, заданному регуляторами.

Ключевые слова

дифференциально-алгебраические уравнения; оператор Фредгольма; оператор Вольтерра; начальная задача; условия согласования; индекс.

Литература

1. Reich, S. Differential-Algebraic Equations and Applications in Circuit Theory / S. Reich. - Potsdam: Universitat Potsdam, 1992.
2. Eich-Soellner, E. Numerical Methods in Multibody Systems / E. Eich-Soellner, C. Fuhrer. - Stuttgart: Teubner, 1998.
3. Балышев О.А. Анализ переходных и стационарных процессов в трубопроводных системах / О.А. Балышев, Э.А. Таиров. - Новосибирск: Наука, 1999.
4. Vlach, J. Computer Methods for Circuit Analysis and Design / J. Vlach, K. Singhal. - N.Y.: Van Nostrand Reinhold, 1983.
5. Sviridyuk, G.A. Linear Sobolev Type Equations and Degenerate Semigroups of Operators / G.A. Sviridyuk, V.E. Fedorov. - Utrecht; Boston; Koln; Tokyo: VSP, 2003.
6. Brenan, K.E. Numerical Solution of Initial-Value Problems in Differential Algebraic Equations / K.E. Brenan, S.L. Campbell, L.R. Petzold. - Philadelphia: SIAM Publications, 1996.
7. Бояринцев, Ю.Е. Алгебро-дифференциальные системы. Методы решения и исследования / Ю.Е. Бояринцев, В.Ф. Чистяков. - Новосибирск: Hаука, 1998.
8. Lamour, R. Differential-Algebraic Equations: a Projector Based Analysis / R. Lamour, R. Marz, C. Tischendorf. - Berlin: Springer, 2013.
9. Лузин, Н.Н. К изучению матричной теории дифференциальных уравнений / Н.Н. Лузин // Автоматика и телемеханика. - 1940. - № 5. - С. 3-66.
10. Чистяков, В. Ф. Алгебро-дифференциальные операторы с конечным ядром / В.Ф. Чистяков. - Новосибирск: Наука, 1996.
11. Mehrmann, V. Transformation of High Order Linear Differential-Algebraic Systems to First Order / V. Mehrmann, C. Shi // Numerical Algorithms. - 2006. - № 42. - P. 281-307.
12. Chistyakov, V.F. Linear Differential-Algebraic Equations Perturbed by Volterra Integral Operators / V.F. Chistyakov, E.V. Chistyakova // Differential Equations. - 2017. - V. 53, № 10. - P. 1-14.
13. Булатов, М.В. Один метод численного решения линейных сингулярных систем ОДУ индекса выше единицы / М.В. Булатов, В.Ф. Чистяков // Численные методы анализа и их приложения. - Иркутск: СЭИ СО АН СССР, 1987. - С. 100-105.
14. Краснов, М.Л. Интегральные уравнения. Введение в теорию / М.Л. Краснов. - М.: Наука, 1975.
15. Пазий Н.Д. Локальная аналитическая классификация уравнений соболевского типа: дис. ... канд. физ.-мат. наук / Н.Д. Пазий. - Екатеринбург, 1999.
16. Меренков, А.П. Теория гидравлических цепей / А.П. Меренков, В.Я. Хасилев. - М.: Наука, 1985.
17. Чистяков, В.Ф. О линеаризации вырожденных систем квазилинейных обыкновенных дифференциальных уравнений / В.Ф. Чистяков // Приближенные методы решения операторных уравнений и их приложения. - Иркутск: СЭИ СО АН СССР, 1982. - С. 146-157.
18. Чистяков, В.Ф. О связи структуры пучка матриц с существованием решений неявной системы ОДУ / В.Ф. Чистяков // Методы оптимизации и исследования операций. - Иркутск: СЭИ СО АН СССР, 1984. - С. 194-202.
19. Чистякова, Е.В. О разрешимости вырожденных систем квазилинейных интегро-дифференциальных уравнений общего вида / Е.В. Чистякова, В.Ф. Чистяков // Вычислительные технологии. - 2011. - Т. 16, № 5. - С. 100-114.
20. Chistyakova, E.V. Investigation of the Unsteady-State Hydraulic Networks by Means of Singular Systems of Integral Differential Equations / E.V. Chistyakova, Nguyen Duc Bang // Вестник ЮУрГУ. Серия: Математическое моделирование и программирование. - 2016. - Т. 9, № 1. - С. 59-72.
21. Левин, А.А. Об использовании структуры системы нелинейных уравнений, описывающих гидравлические цепи энергоустановок при численных расчетах / А.А. Левин, В.Ф. Чистяков, Э.А. Таиров // Вестник ЮУрГУ. Серия: Математическое моделирование и программирование. - 2016. - Т. 9, № 4. - С. 53-62.