On Some Inverse Coefficient Problems with the Pointwise Overdetermination for Mathematical Models of Filtration

Рассматриваются обратные задачи восстановления коэффициентов линейного псевдопараболического уравнения, возникающие в теории фильтрации. Граничные условия типа Неймана дополняются условиями переопределения, которые есть значения решения в некотором наборе внутренних точек области. Мы приводим теоремы существования и единственности решений в пространствах Соболева. Полученное решение является регулярным, то есть обладает всеми обобщенными производными, входящими в уравнение, принадлежащими некоторому пространству Лебега. Метод доказательства является конструктивным. Задача сводится к нелинейному операторному уравнению с сжимающим оператором, если временной промежуток достаточно мал. Используя метод доказательства, мы строим численный алгоритм определения решения, соответствующий программный комплекс и описываем результаты численных экспериментов в двухмерном случае по пространственным переменным. Определению подлежат само решение уравнения и коэффициент пьезопроводимости трещиноватой среды. Основной метод для численного определения решения - метод конечных элементов, который дополняется разностной схемой для решения соответствующей системы обыкновенных дифференциальных уравнений. В конечном счете задача сводится к решению нелинейной алгебраической системы, решение которой находится при помощи итерационной процедуры. Результаты показывают очень хорошую сходимость численного алгоритма.

Ключевые слова

обратная задача; псевдопараболическое уравнение; фильтрация; численное решение.

Литература

1. Barenblatt G.I., Zheltov Iu.P., Kochina I.N. Basic concepts in the theory of seepage of homogeneous liquids in fissured rocks [strata] // J. Appl. Math. Mech. 1960. Vol. 24, No. 5. P. 1286-1303.
2. Bohm M., Showalter R.E. Diffusion in fissured media // SIAM J. Math. Anal. 1985. V.16, No.3. P. 500-509.
3. Lyubanova A.Sh., Tani A., On inverse problems for pseudoparabolic and parabolic equations of filtration // Inverse problems in science and engineering. 2011. Vol. 19. No. 7. P.1023-1042.
4. Alshin A.B., Korpusov M.O., Sveshnikov A.G. Blow-up in nonlinear Sobolev type equations. 2011. Berlin/New-York: de Gruyter.
5. Sviridyuk G.A., Fedorov V.E., Linear Sobolev Type Equations and Degenerate Semigroups of Operators. Utrecht: VSP, 2003.
6. Favini A.,Yagi A. Degenerate differential equations in Banach spaces. New-York: Marcel Dekker, Inc., 1999.
7. Rundell W. Determination of an unknown nonhomogeneous term in a linear partial differential equation from overspecified boundary data // Appl. Anal. 1980. Vol. 10, No. 3. P. 231-242.
8. Kozhanov A.I. Composite Type Equations and Inverse Problems. Inverse Ill-posed Probl. Ser. Utrecht: VSP, 1999.
9. Asanov A., Atamanov E.R. Nonclassical and Inverse Problems for Pseudoparabolic Equations. Series: Inverse and Ill-Posed Problems. Berlin: De Gruyter, 2014.
10. Favini A., Lorenzi A., Differential equations. Inverse an direct problems. Abingdon: Tylor & Francis Group, LLC. 2006.
11. Mamayusupov M.Sh. The problem of determining coefficients of a pseudoparabolic equation // Studies in Integro-differential Equations. 1983. Vol. 16. P. 290-297.
12. Lyubanova A.Sh. Identification of a coefficient in the leading term of a pseudoparabolic equation of filtration // Siber. Math. J. 2013. Vol. 54. No. 6. P. 1046-1058.
13. Lyubanova A.Sh. The Inverse Problem for the Nonlinear Pseudoparabolic Equation of Filtration Type. J. of Siber. Federal University. Mathematics & Physics. 2017. Vol. 10, No. 1. P. 4-15.
14. Шергин С.Н., Пятков С.Г. О некоторых классах обратных задач для псевдопараболических уравнений // Матем. заметки СВФУ. 2014. Т. 21, № 2, C. 106-116..
15. Pyatkov S.G., Shergin S.N. On some mathematical models of filtration theory // Вестник ЮУрГУ. Серия математическое моделирование и программирование. 2015. Т. 8, № 2. C. 105-116. .
16. Kabanikhin S.I. Inverse and Ill-Posed Problems. Berlin/Boston: De Gruyter, 2012.
17. Samarskii A.A., Vabishchevich P.N. Numerical Methods for Solving Inverse Problems of Mathematical Physics. Berlin/Boston: De Gruyter, 2007.
18. Ewing R.E. Numerical solution of Sobolev partial differential equations // Siam J. Numer. Anal. 1975. V. 12. No. 3. P. 345-363.
19. Cuesta C.M., Pop I.S. Numerical schemes for a pseudo-parabolic Burgers equation, discontinuous data and long-time behaviour // J. of Comp. and Appl. Math. 2009. V. 224, No. 1. P. 269-283.
20. Beshtokov M.Kh. Differential and Difference Boundary Value Problem for Loaded Third-Order Pseudo-Parabolic Differential Equations and Difference Methods for Their Numerical Solution // Computational Mathematics and Mathematical Physics. 2017. V. 57, No. 12. P. 1973-1993.
21. Vabishchevich P.N. and Grigorev A.V. Splitting Schemes for Pseudoparabolic Equations // Differential Equations. 2013. V. 49, No. 7. P. 807–814.
22. Guezane-Lakoud A., Belakroum D. Time-discretization schema for an integrodifferential Sobolev type equation with integral conditions // Applied Mathematics and Computation. V. 218, No. 9. P. 4695-4702.
23. Luoa Z.D. Teng F. A reduced-order extrapolated finite difference iterative scheme based on POD method for 2D Sobolev equation // Applied Mathematics and Computation. 2018. V. 329. P. 374-383.
24. Xia H., Luo Z. An optimized finite difference Crank-Nicolson iterative scheme for the 2D Sobolev equation // Advances in Difference Equations. 2017. V. 196. https://doi.org/10.1186/s13662-017-1253-8.
25. Келлер А.В., Загребина С.А. Некоторые обобщения задачи Шовалтера-Сидорова для моделей соболевского типа Вестник ЮУрГУ. Серия математическое моделирование и программирование. 2015. Т. 8, № 2. C. 5-23.
26. Hasan A., Aamo A.M., Foss B. Boundary control for a class of pseudo-parabolic differential equations // Systems & Control Letters. 2013. V. 62, No.1. P. 63-69.
27. Triebel H. Interpolation Theory, Function Spaces, Differential Operators. North-Holland Mathematical Library. Amsterdam: North-Holland Publishing, 1978.
28. Ladyzhenskaya O.A., Solonnikov V.A., Uraltseva N.N. Linear and Quasi-Linear Equations of Parabolic Type. Translations of Mathematical Monographs. Providence: American Mathematical Society (AMS), 1968.
29. Amann H. Operator-valued Foutier multipliers, vector-valued Besov spaces and applications // Mathem. Nachr. 1997. Vol. 186, No.1. P. 5-56.