Построение наблюдения для задачи оптимального динамического измерения по искаженным данным

Теория оптимальных динамических измерений базируется на минимизации разности значений виртуального наблюдения, т.е. полученного с помощью расчетной модели, и экспериментальных данных, которые обычно искажены некоторыми помехами. В статье приведено описание математической модели оптимального динамического измерения при наличии помех разного вида. Кроме того, в статье предлагается алгоритм построения значений наблюдения по значениям, полученным в ходе эксперимента, которые предполагаются искаженными некоторыми случайными воздействиями. Предполагается, что на экспериментальные данные воздействует 'белый шум', который понимается как производная Нельсона - Гликлиха от винеровского процесса. Для построения значений наблюдения используется априорная информация о форме функции, описывающей значения наблюдения. Сама процедура построения наблюдения состоит из двух этапов. На первом этапе формулируется критерий определения положения экстремальной точки сигнала с использованием статистики специального вида. А на втором этапе описывается процедура построения значений сигнала на основе информации о положении точки экстремума и форме выпуклости сигнала.

Ключевые слова

винеровский процесс; броуновское движение; производная Нельсона - Гликлиха; статистическая гипотеза.

Литература

1. Шестаков, А.Л. Методы теории автоматического управления в динамических измерениях / А.Л. Шестаков. - Челябинск, Изд-во ЮУрГУ, 2013.
2. Пытьев, Ю.П. Методы морфологического анализа изображений / Ю.П. Пытьев, А.И. Чуличков. - М.: Физматлит, 2010.
3. Грановский, В.А. Динамические измерения. Основы метрологического обеспечения / В.А. Грановский. - Л.: Энергоатомиздат, 1984.
4. Тихонов, А.Н. Методы решения некорректных задач / А.Н. Тихонов, В.Я. Арсенин. - М.: Наука, 1979.
5. Иванов, В.К. Теория линейных некорректных задач и ее приложения / В.К. Иванов, В.В. Васин, В.П. Танана. - М.: Наука, 1978.
6. Лаврентьев, М.М. Некорректные задачи математической физики и анализа / М.М. Лаврентьев, В.Г. Романов, С.П. Шишатский. - М.: Наука, 1980.
7. Шестаков, А.Л. Модальный синтез измерительного преобразователя / А.Л. Шестаков // Проблемы управления и информатики. - 1995. - № 4. - С. 67-75.
8. Деруссо, П. Пространство состояний в теории управления / П. Деруссо, Р. Рой, Ч. Клоуз. - М.: Наука, 1970.
9. Куржанский, А.Б. Управление и наблюдение в условиях неопределенности / А.Б. Куржанский. - М.: Наука, 1977.
10. Кузовков, Н.Т. Модальное управление и наблюдающие устройства / Н.Т. Кузовков. - М.: Машиностроение, 1976.
11. Shestakov, A.L. Optimal Measurement of Dynamically Distorted Signals / A.L. Shestakov, G.A. Sviridyuk // Вестник ЮУрГУ. Серия: Математическое моделирование и программирование. - 2011. - № 17 (234), вып. 8. - С. 70-75.
12. Shestakov, A.L. The Theory of Optimal Measurements / A.L. Shestakov, G.A. Sviridyuk, A.V. Keller // Journal of Computational and Engineering Mathematics. - 2014. - V. 1, № 1. - P. 3-15.
13. Shestakov, A.L. Optimal Measurements / A.L. Shestakov, G.A. Sviridyuk, A.V. Keller // XXI IMEKO World Congress 'Measurement' in Research and Industry. - 2015. - P. 2072-2076.
14. Keller, A.V. On the Computational Efficiency of the Algorithm of the Numerical Solution of Optimal Control Problems for Models of Leontieff Type / A.V. Keller // Journal of Computational and Engineering Mathematics. - 2015. - V. 2, № 2. - P. 39-59.
15. Шестаков, А.Л. Численное решение задачи оптимального измерения / А.Л. Шестаков, А.В. Келлер, Е.И. Назарова // Автоматика и телемеханика. - 2012. - № 1. - С. 107-115.
16. Keller, A.V. The Numerical Algorithms for the Measurement of the Deterministic and Stochastic Signals / A.V. Keller, A.L. Shestakov, G.A. Sviridyuk, Y.V. Khudyakov // Springer Proceedings in Mathematics and Statistics. - 2015. - V. 113. - P. 183-195.
17. Sagadeeva, M. On Nonstationary Optimal Measurement Problem for the Measuring Transducer Model / M. Sagadeeva // 2nd International Conference on Industrial Engineering, Applications and Manufacturing (ICIEAM-2016). - 2016. - Article ID: 7911710. - 3 p.
18. Einstein, A. Zur theorie der brownschen bewegung / A. Einstein // Annalen der Physik. - 1905. - V. 19. - P. 371-381.
19. Крылов, Н.В. Введение в теорию случайных процессов / Н.В. Крылов. - М.: МГУ, 1986.
20. Melnikova, I.V. Abstract Cauchy Problem in Spaces of Stochastic Distributions / I.V. Melnikova, A.I. Filinkov // Journal of Mathematical Sciences. - 2008. - V. 149, № 5. - P. 1567-1579.
21. Melnikova, I.V. White Noise Calculus in Applications to Stochastic Equations in Hilbert Spaces / I.V. Melnikova, M.A. Alshanskiy // Journal of Mathematical Sciences. - 2016. - V. 218, № 4. - P. 395-429.
22. Nelson, E. Dynamical Theories of Brownian Motion / E. Nelson. - Princeton: Princeton University Press, 1967.
23. Gliklikh, Yu.E. Global and Stochastic Analysis with Applications to Mathematical Physics / Yu.E. Gliklikh. - London; Dordrecht; Heidelberg; N.Y.: Springer, 2011.
24. Gliklikh, Yu.E. On Existence of Optimal Solutions for Stochastic Differential Inclusions with Mean Derivatives / Yu.E. Gliklikh, O.O. Zheltikova // Applicable Analysis. - 2014. - V. 93, № 1. - P. 35-45.
25. Shestakov, A.L. On the Measurement of the 'White Noise'/ A.L. Shestakov, G.A. Sviridyuk // Вестник ЮУрГУ. Серия: Математическое моделирование и программирование. - 2012. - № 27 (286), вып. 13. - С. 99-108.
26. Свиридюк, Г.А. Динамические модели соболевского типа с условием Шоуолтера - Сидорова и аддитивными шумами / Г.А. Свиридюк, Н.А. Манакова // Вестник ЮУрГУ. Серия: Математическое моделирование и программирование. - 2014. - Т. 7, № 1. - С. 90-103.
27. Favini, A. Linear Sobolev Type Equations with Relatively tp-Sectorial Operators in Space of 'Noises' / A. Favini, G.A. Sviridyuk, N.A. Manakova // Abstract and Applied Analysis. - 2015. - V. 2015. - Article ID: 697410. - 8 p.
28. Favini, A. Linear Sobolev Type Equations with Relatively p-Radial Operators in Space of 'Noises' / A. Favini, G.A. Sviridyuk, M.A. Sagadeeva // Mediterranean Journal of Mathematics. - 2016. - V. 13, № 6. - P. 4607-4621.
29. Favini, A. One Class of Sobolev Type Equations of Higher Order with Additive 'White Noise' / A. Favini, G.A. Sviridyuk, A.A. Zamyshlyaeva // Communications on Pure and Applied Analysis. - 2016. - V. 15, № 1. - P. 185-196.
30. Favini, A. Multipoint Initial-Final Value Problems for Dynamical Sobolev-Type Equations in the Space of Noises / A. Favini, S.A. Zagrebina, G.A. Sviridyuk // Electronic Journal of Differential Equations. - 2018. - Article ID: 128. - 10 p. - URL: https://ejde.math.txstate.edu/Volumes/2018/128/favini.pdf
31. Zagrebina, S.A. The Multipoint Initial-Final Value Problems for Linear Sobolev-Type Equations with Relatively $p$-Sectorial Operator and Additive 'Noise' / S.A. Zagrebina, T.G. Sukacheva, G.A. Sviridyuk // Global and Stochastic Analysis. - 2018. - V. 5, № 2. - P. 129-143.
32. Kovacs, M. Introduction to Stochastic Partial Differential Equations / M. Kovacs, S. Larsson // Proceedings of <<New Directions in the Mathematical and Computer Sciences>>, National Universities Commission, Abuja, Nigeria, October 8-12. - 2008. - P. 159-232.
33. Zagrebina, S.A. The Stochastic Linear Oskolkov Model of the Oil Transportation by the Pipeline / S.A. Zagrebina, E.A. Soldatova, G.A. Sviridyuk // Springer Proceedings in Mathematics and Statistics. - V. 113. - 2015. - P. 317-326.
34. Zamyshlyaeva, A.A. The Linearized Benney-Luke Mathematical Model with Additive White Noise / A.A. Zamyshlyaeva, G.A. Sviridyuk // Springer Proceedings in Mathematics and Statistics. - 2015. - V. 113.- P. 327-336.
35. Демин, Д.С. Фильтрация монотонных выпуклых сигналов, искаженных шумом, и оценка положения особых точек / Д.С. Демин, А.И. Чуличков // Фундаментальная и прикладная математика. - 2009. - Т. 15, № 6. - С. 15-31.
36. Свиридюк, Г.А. О сходимости численного решения задач оптимального управления для систем уравнений леонтьевского типа / Г.А. Свиридюк, А.В. Келлер // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия: Физико-математические науки. - 2011. - № 2 (23). - С. 24-33.
37. Белов, А.А. Дескрипторные системы и задачи управления / А.А. Белов, А.П. Курдюков. - М.: Физматлит, 2015.
38. Шестаков, А.Л. Динамические измерения в пространствах 'шумов' / А.Л. Шестаков, Г.А. Свиридюк, Ю.В. Худяков // Вестник ЮУрГУ. Серия: Компьютерные технологии, управление, радиоэлектроника. - 2013. - Т. 13, № 2. - С. 4-11.
39. Banasiak, J. Chaotic Behavior of Semigroups Related to the Process of Gene Amplification-Deamplification with Cell Proliferation / J. Banasiak, M. Lachowicz, M. Moszynski // Mathematical Biosciences. - 2007. - V. 206, № 2. - P. 200-2015.
40. Banasiak, J. Asynchronous Exponential Growth of a General Structured Population Model / J. Banasiak, K. Pichor, R. Rudnicki // Acta Applicandae Mathematicae. - 2012. - V. 119, № 1. - P. 149-166.