Analytical Study of the Mathematical Model of Wave Propagation in Shallow Water by the Galerkin Method

Рассматривается начально-краевая задача для модифицированного уравнения Буссинеска (уравнения IMBq). Уравнение часто используется для описания распроcтранения волн на мелкой воде при условии сохранения массы в слое и с учетом капиллярных эффектов. Кроме того, оно используется при исследовании ударных волн. Модифицированное уравнение Буссинеска относится к уравнениям соболевского типа. Ранее, используя теорию относительно tp-ограниченных операторов было доказано существование и единственность решения начально-краевой задачи. В данной работе мы докажем, что решение, построенное методом Галеркина по системе ортонормированных собственных функций однородной задачи Дирихле для оператора Лапласа, сходится *-слабо к точному решению. Опираясь на метод компактности и неравенство Гронуолла доказано существование и единственность решений задачи Коши - Дирихле и задачи Шоуолтера - Сидорова - Дирихле для модифицированного уравнения Буссинеска.

Ключевые слова

модифицированное уравнение Буссинеска; уравнения соболевского типа; начально-краевая задача; метод Галеркина; *-слабая сходимость.

Литература

1. Bogolubsky, I.L. Some Examples of Inelastic Soliton Interaction / I.L. Bogolubsky // Computational Physics Communications. - 1977. - V. 13, № 2. - P. 49-55.
2. Clarkson, P.A. Solitary Wave Interactions in Elastic Rods / P.A. Clarkson, R.J. Leveque, R. Saxton // Studies in Applied Mathematics. - 1986. - V. 75, № 1. - P. 95-122.
3. Wang Shubin Small Amplitude Solutions of the Generalized IMBq Equation / Shubin Wang, Guowang Chen // Journal Mathematical Analysis Applied. - 2002. - V. 274. - P. 846-866.
4. Архипов, Д.Г. Новое уравнение для описания неупругого взаимодействия нелинейных локализованных волн в диспергирующих средах / Д.Г. Архипов, Г.А. Хабахпашев // Письма в Журнал экспериментальной и теоретической физики. - 2011. - Т. 93, № 8. - С. 469-472.
5. Zhang Weiguo Explicit Solitary-Wave Solutions to Generalized Pochhammer-Chree Equations / Weiguo Zhang, Wenxiu Ma // Applied Mathematics and Mechanics. - 1999. - V. 20, № 6. - P. 625-632.
6. Runzhang Xu Global Existence and Blow-Up of Solutions for Generalized Pochhammer-Chree Equations / Xu Runzhang, Liu Yacheng // Acta Mathematica Scientia. - 2010. - V. 30, issue 5. - P. 1793-1807.
7. Showalter, R.E. Sobolev Equations for Nonlinear Dispersive Systems / R.E. Showalter // Applicable Analysis. - 1977. - V. 7, issue 4. - P. 279-287.
8. Свиридюк, Г.А. Фазовые пространства одного класса операторных полулинейных уравнений типа Соболева / Г.А. Свиридюк, Т.Г. Сукачева // Дифференциальные уравнения. - 1990. - Т. 26, № 2. - С. 250-258.
9. Свиридюк, Г.А. Фазовые пространства одного класса линейных уравнений соболевского типа высокого порядка / Г.А. Свиридюк, А.А. Замышляева // Дифференциальные уравнения. - 2006. - Т. 42, № 2. - С. 252-260.
10. Zamyshlyaeva, A.A. The Cauchy Problem for the Sobolev Type Equation of Higher Order / A.A. Zamyshlyaeva, E.V. Bychkov // Bulletin of the South Ural State University. Series: Mathematical Modelling, Programming and Computer Software. - 2018. - V. 11, № 1. - P. 5-14.
11. Свиридюк, Г.А. Фазовые пространства одного класса линейных уравнений соболевского типа высокого порядка / Г.А. Свиридюк, А.А. Замышляева // Дифференциальные уравнения. - 2006. - Т. 42, № 2. - С. 252-260.
12. Замышляева, А.А. Математические модели соболевского типа высокого порядка / А.А. Замышляева // Вестник Южно-Уральского государственного университета. Серия: Математическое моделирование и программирование. - 2014. - Т. 7, № 2. - С. 5-28.
13. Свиридюк, Г.А. О разрешимости сингулярной системы обыкновенных дифференциальных уравнений / Г.А. Свиридюк // Дифференциальные уравнения. - 1987. - Т. 23, № 9. - С. 1637-1639.
14. Чистяков, В.Ф. Линейные дифференциально-алгебраические уравнения с возмущениями в виде интегральных операторов Вольтерры / В.Ф. Чистяков, Е.В. Чистякова // Дифференциальные уравнения. - 2017. - Т. 53, № 10. - С. 1309.
15. Zamyshlyaeva, A.A. Numerical Investigation of the Boussinesq-Love Mathematical Models on Geometrical Graphs / A.A. Zamyshlyaeva, A.V. Lut // Bulletin of the South Ural State University. Series: Mathematical Modelling, Programming and Computer Software. - 2017. - V. 10, № 2. - P. 137-143.
16. Shafranov, D.E., The Barenblatt-Zheltov-Kochina Model with the Showalter-Sidorov Condition and Additive "White Noise", in Spaces of Differential Forms on Riemannian Manifolds without Boundary / D.E. Shafranov, O.G. Kitaeva // Global and Stochastic Analysis. - 2018. - V. 5, № 2. - P. 145-159.
17. Манакова, Н.А. О решении задачи Коши - Дирихле для уравнения Баренблатта - Гильмана / Н.А. Манакова, Е.А. Богатырева // Известия Иркутского государственного университета. Серия: Математика. - 2014. - Т. 7. - С. 52-60.
18. Манакова, Н.А. Численное моделирование процесса неравновесной противоточной капиллярной пропитки / Н.А. Манакова, Е.А. Богатырева // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 2016. - Т. 56, № 1. - С. 125-132.
19. Свешников, А.Г. Линейные и нелинейные уравнения соболевского типа / А.Г. Свешников, А.Б. Альшин, М.О. Корпусов, Ю.Д. Плетнер. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2007.
20. Keller, A.V. On the computational efficiency of the algorithm of the numerical solution of optimal control problems for models of Leontieff type / A.V. Keller // Journal of Computational and Engineering Mathematics. - 2015. - V. 2, № 2. - С. 39-59.
21. Лионс, Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач / Ж.-Л. Лионс. - М.: Мир, 1972.
22. Хартман, Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения / Ф. Хартман. - М.: Мир, 1970.
23. Трибель, Х. Теория интерполяции. Функциональные пространства. Дифференциальные операторы / Х. Трибель. - М.: Мир, 1980.
24. Свиридюк, Г.А. Задача Шоуолтера - Сидорова как феномен уравнений соболевского типа / Г.А. Свиридюк, С.А. Загребина // Известия Иркутского государственного университета. Серия: Математика. - 2010. - Т. 3, № 1. - С. 104-125.