Research of the Optimal Control Problem for One Mathematical Model of the Sobolev Type

На данный момент задачи оптимального управления для различных линейных и нелинейных уравнений соболевского типа широко изучены. Данная статья посвящена исследованию оптимального управления для одной математической модели соболевского типа, которая базируется на модельном уравнении, которое описывает различные процессы (например, процессы деформации, процессы, происходящие в полупроводниках, волновые процессы и т. д.) в зависимости от параметров и может принадлежать либо к классу вырожденных (при lambda> 0) уравнений, либо к классу невырожденные (для lambda <0) уравнения. Данная работа является первой попыткой исследования задачи управления для математических полулинейных моделей соболевского типа в случае отсутствия свойства неотрицательной определенности оператора при производной по времени, т.е. построению сингулярной системы оптимальности в соответствии с сингулярной ситуацией, обусловленной неустойчивостью модели. Представлены условия существования пары управления-состояния, а также найдены условия существования оптимального управления.

Ключевые слова

уравнения соболевского типа; метод фазового пространства; задача оптимального управления.

Литература

1. Корпусов, М.О. Трехмерные нелинейные эволюционные уравнения псевдопараболического типа в задачах математической физики / М.О. Корпусов, А.Г. Свешников // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 2003. - T. 43, № 12. - С. 1835-1869.
2. Свиридюк, Г.А. Многообразие решений одного сингулярного псевдопараболического уравнения / Г.А. Свиридюк // Доклады Академии наук CCCР. - 1986. - Т. 289, № 6. - С. 1-31.
3. Манакова, Н.А. Неклассические уравнения математической физики. Фазовые пространства полулинейных уравнений соболевского типа / Н.А. Манакова, Г.А. Свиридюк // Вестник ЮУрГУ. Серия: Математика, Механика, Физика. - 2016. - Т. 8, № 3. - C. 31-51.
4. Свиридюк, Г.А. Квазистационарные траектории полулинейных динамических уравнений типа Соболева / Г.А. Свиридюк // Известия РАН. Серия математическая. - 1994. - Т. 42, № 3. - С. 601-614.
5. Свиридюк, Г.А. Фазовое пространство уравнений типа соболева с s-монотонными и p-коэрцитивными операторами / Г.А. Свиридюк, М.В. Климентьев // Известия высших учебных заведений. Математика. - 1994. - Т. 38, № 11. - С. 72-79.
6. Lions J.-L. Quelques maerthodes de resolution des problemes aux limites non lineaires / J.-L. Lions. - Paris: Dunod, 1968.
7. Sviridyuk G.A. Optimal Control Problem for One Class of Linear Sobolev Type Equations / G.A. Sviridyuk, A.A. Efremov // Russian Mathematics. - 1996. - V. 40, № 12. - P. 60-71.
8. Манакова, Н.А. Математические модели и оптимальное управление процессами фильтрации и деформации / Н.А. Манакова // Вестник ЮУрГУ. Серия: Математического моделирования и программирования. - 2015. - Т. 8, № 3. - C. 5-24.
9. Gavrilova, O.V. A Numerical Study of the Optimal Control Problem for Degenerate Multicomponent Mathematical Model of the Propagation of a Nerve Impulse in the System of Nerves / O.V. Gavrilova // Journal of Computational and Engineering Mathematics. - 2020. - V. 7, № 1. - P. 47-61.
10. Kotlovanov, K.Yu. Optimal Control in the Mathematical Model of Internal Waves / K.Yu. Kotlovanov, E.V. Bychkov, A.V. Bogomolov // Journal of Computational and Engineering Mathematics. - 2020. - V. 7, № 1. - P. 62-71.
11. Zamyshlyaeva, A.A. Optimal Control of Solutions of the Showalter-Sidorov-Dirichlet Problem for the Boussinesq-Love Equation / A.A. Zamyshlyaeva, O.N. Tsyplenkova // Differential Equations. - 2013. - V. 49, № 11. - P. 1356-1365.
12. Шестаков, А.Л. Новый подход к измерению динамически искаженных сигналов / А.Л. Шестаков, Г.А. Свиридюк // Вестник ЮУрГУ. Серия: Математическое моделирование и программирование. - 2010. - № 16 (192). - С. 116-120.
13. Shestakov, A.L. The Optimal Measurements Theory as a New Paradigm in the Metrology / A.L. Shestakov, A.V. Keller, A.A. Zamyshlyaeva, N.A. Manakova, S.A. Zagrebina, G.A. Sviridyuk // Journal of Computational and Engineering Mathematics. - 2020. - V. 7, № 1. - P. 3-23.
14. Лионс, Ж.-Л. Управление сингулярными распределенными системами / Ж.-Л. Лионс. - М.: Наука, 1987.
15. Свиридюк, Г.А. Задача Коши для одного класса полулинейных уравнений типа Соболева / Г.А. Свиридюк, Т.Г. Сукачева // Сибирский математический журнал. - 1990. - Т. 31, № 5. - С. 109-119.
16. Leng, S. Introduction to Differentiable Manifolds / S. Leng. - New York: Springer, 2002.
17. Манакова, Н.А. Исследование одной математической модели распределения потенциалов в кристаллическом полупроводнике / Н.А. Манакова, К.В. Васючкова // Вестник Южно-уральского государственного университете. Серия: Математическое моделирование и программирование. - 2019. - Т. 12, №. 2. - C. 150-157.