High Accuracy Numerical Solution of Elliptic Equations with Discontinuous Coefficients

Разработан подход построения нового hp-варианта метода коллокации и наименьших квадратов (КНК) численного решения с повышенной точностью краевых задач для эллиптических уравнений с разрывом коэффициента на линиях различных форм в области решения задачи. Для аппроксимации уравнения и условий на разрыве его коэффициента в алгоритме предложено использовать законтурные части и нерегулярные ячейки (н-ячейки) расчетной сетки, отсеченные линией разрыва от регулярных прямоугольных ячеек. Предложенный подход позволил получить решения с повышенным порядком сходимости и высокой точности при измельчении шага сетки и/или увеличении степени аппроксимирующих полиномов как в случае условий Дирихле на границе области, так и в случае наличия условий Неймана на значительной части границы. Рассмотрен также случай задачи, когда кроме разрыва коэффициента в угловых точках области имеется разрыв вторых производных искомого решения. Проведено моделирование процесса теплопереноса в области, в которой частицы среды перемещаются плоскопараллельно с фазовым переходом и выделением тепла на фронте линии разрыва.

Ключевые слова

численный метод; эллиптические уравнения; разрыв коэффициента; закон сохранения; повышенная точность.

Литература

1. Самарский, А.А. Вычислительная теплопередача / А.А. Самарский, П.Н. Вабищевич. - М.: Едиториал УРСС, 2003.
2. Isaev, V.I. Numerical Study of Heat Modes of Laser Welding of Dissimilar Metals with an Intermediate Insert / V.I. Isaev, A.N. Cherepanov, V.P. Shapeev // International Journal of Heat and Mass Transfer. - 2016. - V. 99. - P. 711-720.
3. Zhilin, Li. A Fast Iterative Algorithm for Elliptic Interface Problems / Li Zhilin // SIAM Journal on Numerical Analysis. - 1998. - V. 35, № 1. - P. 230-254.
4. Годунов, С.К. Численное решение многомерных задач газовой динамики / С.К. Годунов, А.В. Забродин, М.Я. Иванов, А.Н. Крайко, Г.П. Прокопов. - М.: Наука, 1976.
5. Tzou, C. Simple Second-Order Finite Differences for Elliptic PDEs with Discontinuous Coefficients and Interfaces / C. Tzou, S.N. Stechmann // Communications in Applied Mathematics and Computational Science. - 2019. - V. 14, № 2. - P. 121-147.
6. Беляев, В.А. Варианты метода коллокации и наименьших невязок для решения задач математической физики в трапециевидных областях / В.А. Беляев, В.П. Шапеев // Вычислительные технологии. - 2017. - Т. 22, № 4. - С. 22-42.
7. Shapeev, V.P. The Least Squares Collocation Method for the Biharmonic Equation in Irregular and Multiply-Connected Domains / V.P. Shapeev, S.K. Golushko, L.S. Bryndin, V.A. Belyaev // Journal of Physics. - 2019. - V. 1268, article ID: 012076.
8. Vorozhtsov, E.V. On the Efficiency of Combining Different Methods for Acceleration of Iterations at the Solution of PDEs by the Method of Collocations and Least Residuals / E.V. Vorozhtsov, V.P. Shapeev // Applied Mathematics and Computation. - 2019. - V. 363, № 124. - P. 1-19.
9. Федоренко, Р.П. Введение в вычислительную физику / Р.П. Федоренко. - М.: Московский физико-технический институт, 1994.
10. Saad, Y. Numerical Methods for Large Eigenvalue Problems / Y. Saad. - Philadelphia: Society for Industrial and Applied Mathematics, 2011.
11. Деги, Д.В. Численное решение уравнений Навье-Стокса на компьютерах с параллельной архитектурой / Д.В. Деги, А.В. Старченко // Вестник Томского государственного университета. Математика и Механика. - 2012. - № 2 (18). - С. 88-98.
12. Шапеев, В.П. Решение эллиптических задач с особенностями по схемам высокого порядка аппроксимации / В.П. Шапеев, А.В. Шапеев // Вычислительные технологии. - 2006. - Т. 11, № 2. - С. 84-91.
13. Шапеев, В.П. Решение эллиптических уравнений в полигональных областях методом коллокации и наименьших квадратов / В.П. Шапеев, Л.С. Брындин, В.А. Беляев // Вестник Южно-Уральского государственного университета. Серия: Математическое моделирование и программирование. - 2019. - Т. 12, № 3. - С. 140-152.