System Analysis of Classification of Prime Knots and Links in Thickened Surfaces of Genus 1 and 2

В данной работе представлен системный анализ подходов к классификации примарных узлов и зацеплений в утолщенных поверхностях рода 1 и 2, полученной автором совместно с С.В. Матвеевым и В.В. Таркаевым в 2012 - 2020 гг. Алгоритм классификации формирует структуру настоящей статьи. Результаты классификации рассматриваются в разрезе системного анализа основных идей ключевых шагов алгоритма. Во-первых, мы строим примарные проекции. Для этого мы определяем понятие примарной проекции зацепления, перечисляем графы специального вида, чье вложение в поверхность может быть примарной проекцией, перечисляем проекции на поверхности и показываем, что все полученные проекции примарны и не эквивалентны, используя ряд инвариантов проекций. Во-вторых, мы строим примарные зацепления. Для этого мы определяем понятие примарного зацепления, строим предварительное множество диаграмм, используем инварианты зацеплений, чтобы сформировать классы эквивалентностей зацеплений и показать, что полученные диаграммы не эквивалентны, и доказываем примарность полученных зацеплений. При этом, на каждом этапе используемые методы и вводимые понятия характеризуются в разрезе двух случаев (род 1 и 2), выделяются как общие, так и характерные только для одного из рассматриваемых случаев свойства. Интерес представляют сводные таблицы, в которых классифицированные проекции систематизированы по свойствам: порождающий граф, род, число компонент и перекрестков, наличие или отсутствие двуугольной грани, что облегчает дальнейшую работу с предлагаемой классификацией проекций и зацеплений.

Ключевые слова

примарная проекция; узел; зацепление; утолщенный тор; утолщенная поверхность рода 2; обобщенный скобочный полином Кауфмана; скелет скобки Кауфмана; табулирование; классификация.

Литература

1. Hoste J., Thistlethwaite M., Weeks J. The First 1,701,936 Knots. The Mathematical Intelligencer, 1998, vol. 20, no. 4, pp. 33-47.
2. Rolfsen D. Knots and Links. Berkeley, Publish or Perish, 1976.
3. Bar-Natan D. tThe Hoste-Thistlethwaite Link Table. Available at: http://katlas.org/wiki/Main_Page (accessed on July 25, 2020).
4. Gabrovsek B., Mroczkowski M. Knots in the Solid Torus up to 6 Crossings. Journal of Knot Theory and Its Ramifications, 2012, vol. 21, no. 11, article ID: 1250106, 43 p. DOI: 10.1142/S0218216512501064
5. Matveev S.V., Nabeeva L.R. Tabulating Knots in the Thickened Klein Bottle. Siberian Mathematical Journal, 2016, vol. 57, issue 3, pp. 542-548. DOI: 10.1134/S0037446616030174
6. Gabrovsek B. Tabulation of Prime Knots in Lens Spaces. Mediterranean Journal of Mathematics, 2017, vol. 14, no. 2, article ID: 88, 24 p. DOI: 10.1007/s00009-016-0814-5
7. Green J. tA Table of Virtual Knots. Available at: http://katlas.math.toronto.edu/wiki/ (accessed on July 25, 2018).
8. Stenlund E. tClassification of Virtual Knots. Available at: http://evertstenlund.se/knots/Virtual%20Knots.pdf (accessed on July 25, 2020).
9. Akimova A.A., Matveev S.V. Classification of Genus 1 Virtual Knots Having at Most Five Classical Crossings. Journal of Knot Theory and Its Ramifications, 2014, vol. 23, no. 6, article ID: 1450031. DOI: 10.1142/S021821651450031X.
10. Akimova A.A. Classification of Prime Knots in the Thickened Surface of Genus 2 Having Diagrams with at Most 4 Crossings. Journal of Computational and Engineering Mathematics, 2020, vol. 7, no. 1, pp. 32-46. DOI: 10.14529/jcem200103
11. Drobotukhina Yu.V. Classification of Links in R P^3 with at Most Six Crossings. Notes of Scientific Seminars POMI, 1991, vol. 193, pp. 39-63. (in Russian)
12. Akimova A.A. Mathematical Modelling of Biology Processes Based on the Table of Prime Links in the Solid Torus up to 4 Crossings. Journal of Physics, 2021, vol. 1847, article ID: 012025, 12 p. DOI: 10.1088/1742-6596/1847/1/012025
13. Akimova A.A., Matveev S.V., Tarkaev V.V. Classification of Links of Small Complexity in the Thickened Torus. Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics, 2018, vol. 303, no. 12, pp. 12-24. DOI: 10.1134/S008154381809002X
14. Akimova A.A., Matveev S.V., Tarkaev V.V. Classification of Prime Links in the Thickened Torus Having Crossing Number 5. Journal of Knot Theory and Its Ramifications, 2020, vol. 29, no. 3, article ID: 2050012, 27 p. DOI: 10.1142/S0218216520500121
15. Akimova A.A. Tabulation of Prime Links in the Thickened Surface of Genus 2 Having Diagrams with at Most 4 Crossings. Journal of Computational and Engineering Mathematics, 2020, vol. 7, no. 3, pp. 20-33. DOI: 10.14529/jcem200303
16. Zinn-Justin P., Zuber J.B. Matrix Integrals and the Generation and Counting of Virtual Tangles and Links. Journal of Knot Theory and Its Ramifications, 2004, vol. 13, no. 3, pp. 325-355. DOI: 10.1142/S0218216504003172
17. Zinn-Justin P. tAlternating Virtual Link Database. Available at: https://www.lpthe.jussieu.fr/pzinn/virtlinks/ (accessed on July 25, 2020).
18. Akimova A.A. Tabulation of Prime Projections of Links in the Thickened Surface of Genus 2 with no More Than 4 Crossings. Bulletin of the South Ural State University. Series: Mathematics. Mechanics. Physics, 2020, vol. 12, no. 3, pp. 5-14. DOI: 10.14529/mmph200301
19. Akimova A.A. Classification of Prime Projections of Knots in the Thickened Torus of Genus 2 with at Most 4 Crossings. Bulletin of the South Ural State University. Series: Mathematics. Mechanics. Physics, 2020, vol. 12, no. 1, pp. 5-13. DOI: 10.14529/jcem200103
20. Matveev S.V. Prime Decompositions of Knots in T*I. Topology and its Applications, 2011, vol. 159, no. 7, pp. 1820-1824.
21. Kauffman L.H. State Models and the Jones Polynomial. Topology, 1987, vol. 26, no. 3, pp. 395-407.
22. Jones V.F.R. A Polynomial Invariant for Knots via von Neumann Algebra. Bulletin of the American Mathematical Society, 1985, no. 12, pp. 103-111. DOI: 10.1090/s0273-0979-1985-15304-2
23. Tarkaev V.V. Recognizer of 3D Manifolds. Available at: http://www.matlas.math.csu.ru.V.F.R
24. Akimova A.A. Generalizations of the Kauffman Polynomial for Knots in the Thickened Surface of Genus 2. Chelyabinsk Physical and Mathematical Journal, 2020, vol. 5, no. 3, pp. 352-362
25. Dye H.A., Kauffman L.H. Minimal Surface Representations of Virtual Knots and Links. Algebraic and Geometric Topology, 2005, vol. 5, pp. 509-535.
26. Kauffman L.H., Radford D.E. Bi-Oriented Quantum Algebras, and a Generalized Alexander Polynomial for Virtual Links. Available at: arXiv:math/0112280
27. Culler M., Dunfield N.M., Goerner M., Weeks J.R. SnapPy, a Computer Program for Studying the Geometry and Topology of 3-Manifolds. Available at: http://www.math.uic.edu/t3m/SnapPy