Smooth Approximation of the Quantile Function Derivatives

В статье предложена гладкая аппроксимация вторых производных функции квантили. Сходимость аппроксимаций первых и вторых производных функции квантили исследуется в случаях, когда для соответствующей задачи стохастического программирования существует детерминированный эквивалент. Функция квантили является одним из основных критериев в задачах стохастического программирования. Производная первого порядка может быть представлена как отношение частных производных функции вероятности. Используя гладкую аппроксимацию функции вероятности и ее производных, эти производные аппроксимируются в форме объемных интегралов. Аппроксимация второй производной определяется непосредственно дифференцированием аппроксимации первой производной. Для оценки точности представленных аппроксимаций приведен численный пример.

Ключевые слова

стохастическое программирование; функция вероятности; функция квантили и ее производные.

Литература

1. Кибзун, А.И. Задачи стохастического программирования с вероятностными критериями / А.И. Кибзун, Ю.С. Кан. - М.: Физматлит, 2009.
2. Raik, E. The Differentiability in the Parameter of the Probability Function and Optimization of the Probability Function Via the Stochastic Pseudogradient Method / E. Raik // Proceedings of Academy of Sciences of the Estonian SSR. Physics. Mathematics. - 1975. - V. 24, \textnumero 1. - P. 3-9.
3. Uryas'ev, S. Derivatives of Probability Functions and Some Applications / S. Uryas’ev // Annals of Operations Research. - 1995. - V. 56. - P. 287-311.
4. Henrion, R. Gradient Estimates for Gaussian Distribution Functions: Application to Probabilistically Constrained Optimization Problems / R. Henrion // Numerical Algebra, Control and Optimization. - 2012. - V. 2, \textnumero 4. - P. 655-668.
5. Pflug, G. Probability Gradient Estimation by Set-Valued Calculus and Applications in Network Design / G. Pflug, H. Weisshaupt // SIAM Journal on Optimization. - 2005. - V. 15, \textnumero 3. - P. 898-914.
6. Соболь, В.Р. О гладкой аппроксимации вероятностных критериев в задачах стохастического программирования / В.Р. Соболь, Р.О. Торишный // Труды СПИИРАН. - 2020. - Т. 19, \textnumero 1. - С. 180-217.
7. Sobol, V. Smooth Approximation of Probability and Quantile Functions: Vector Generalization and its Applications / V. Sobol, R. Torishnyi // Journal of Physics: Conference Series. - 2021. - V. 1925. - \textnumero 012034.
8. Торишный, Р.О. О применении численных методов второго порядка к задачам стохастического программирования с функцией вероятности / Р.О. Торишный // Труды МАИ. - 2021. - \textnumero 121. - 27 c.
9. Кокс, Д. Теоретическая статистика / Д. Кокс, Д. Хинкли. - М.: Мир, 1978.