Применение дробно-рациональных интерполяций для решения краевых задач с особенностями

Статья посвящена разработке, реализации и тестированию нового метода решения сингулярно-возмущенных краевых задач для нелинейных уравнений с частными производными второго порядка в прямоугольной области. Для приближения решения в методе использованы прямые (тензорные) произведения дробно-рациональных функций, полученных из интерполяционных полиномов с узлами Чебышева, записанных в барицентрической форме, с помощью специальной замены переменной. Замена делается с целью адаптации положения узлов интерполяции к особенностям искомой функции и приводит к их сгущению в окрестности больших градиентов решения. Для аппроксимации нелинейных уравнений используется сочетание итерационного метода установления и метода коллокаций, что позволяет свести задачу на каждой итерации к решению матричного уравнения Сильвестра. Такой подход приводит к существенному снижению времени вычислений. Высокая эффективность метода продемонстрирована на примере тестовой краевой задачи в квадрате, решение которой имеет пик в центре области, обусловленный наличием у неизвестной функции полюса в комплексной плоскости.

Ключевые слова

cингулярно-возмущенная краевая задача; дробно-рациональная интерполяция; метод коллокаций; быстрая сходимость.

Литература

1. Achieser, N.I. Theory of Approximation / N.I. Achieser. - N.Y.: Frederick Ungar, 1956.
2. Trefethen, L.N. Approximation Theory and Approximation Practice / L.N. Trefethen. - N.Y.: SIAM, 2013.
3. Stahl, H.R. Best Uniform Rational Approximation of x^alpha on [0,1] / H.R. Stahl // Acta Mathematica. - 2003. - V. 190. - P. 241-306.
4. Nakatsukasa, Y. The AAA Algorithm for Rational Approximation / Y. Nakatsukasa, O. Sete, L.N. Trefethen // Journal on Scientific Computing. - 2018. - V. 40, № 3. - P. 1494-1522.
5. Семисалов, Б.В. Быстрый нелокальный алгоритм решения краевых задач Неймана-Дирихле с контролем погрешности / Б.В. Семисалов // Вычислительные методы и программирование. - 2016. - Т. 17, № 4. - С. 500-522.
6. Семисалов, Б.В. Об одном подходе к численному решению задач Дирихле произвольной размерности / Б.В. Семисалов // Сибирский журнал вычислительной математики. - 2022. - Т. 25, № 1. - С. 77-95.
7. Riesz, M. Uber einen Satz des Herrn Serge Bernstein / M. Riesz // Acta Mathematica. - 1916. - V. 40. - P. 43-47.
8. Taylor, W.J. Method of Lagrangian Curvilinear Interpolation / W.J. Taylor // Journal of Research of the National Bureau of Standards. - 1945. - V. 35. - P. 151-155.
9. Dupuy, M. Le calcul numerique des fonctions par l'interpolation barycentrique / M. Dupuy // Comptes rendus de l'Academie des Sciences. - 1948. - V. 226. - P. 158-159.
10. Salzer, H.E. Lagrangian Interpolation at the Chebyshev Points x_{n,\nu}=\cos(\nu\pi/n), \nu=O(1)n; Some Unnoted Advantages / H.E. Salzer // Computer Journal. - 1972. - V. 15. - P. 156-159.
11. Бабенко, К.И. Основы численного анализа / К.И. Бабенко. - М.: Наука, 1986.
12. Дзядык, В.К. Введение в теорию равномерного приближения функций полиномами / В.К. Дзядык. - М.: Наука, 1977.
13. Higham, N.J. The Numerical Stability of Barycentric Lagrange Interpolation / N.J. Higham // Journal of Numerical Analysis. - 2004. - V. 24, № 4. - P. 547-556.
14. Schneider, C. Some New Aspects of Rational Interpolation / C. Schneider, W. Werner // Mathematics of Computation. - 1986 - V. 47. - P. 285-299.
15. Tee, T.W. A Rational Spectral Collocation Method with Adaptively Transformed Chebyshev Grid Points / T.W. Tee, L.N. Trefethen // SIAM Journal on Scientific Computing. - 2006. - V. 28. - P. 1798-1811.
16. Baltensperger, R. Exponential Convergence of a Linear Rational Interpolant Between Transformed Chebyshev Points / R. Baltensperger, J.-P. Berrut, B. No"el // Mathematics of Computation. - 1999. - V. 68. - P. 1109-1120.
17. Семисалов, Б.В. К вопросу о приближении гладких функций с погранслойными составляющими / Б.В. Семисалов, Г.А. Кузьмин // Труды Института математики и механики УрО РАН. - 2021. - Т. 27, № 4. - С. 111-124.
18. Идимешев, С.В. Дробно-рациональная аппроксимация в начально-краевых задачах с фронтами / С.В. Идимешев // Вычислительные технологии. - 2020. - Т. 25, № 2. - С. 63-79.
19. Gottlieb, D. Theory and Application of Spectral Methods / D. Gottlieb, M.Y. Hussaini, S.A. Orszag // Spectral Methods for Partial Differential Equations. - Philadelphia: SIAM, 1984. - P. 1-54.
20. Blokhin, A.M. Numerical Method for 2D Simulation of a Silicon MESFET with a Hydrodynamical Model Based on the Maximum Entropy Principle / A.M. Blokhin, A.S. Ibragimova // SIAM Journal on Scientific Computing. - 2009. - V. 31. - P. 2015-2046.
21. Schmidt, M. Setup and Test of a Laser Doppler Velocimeter for Investigations of Flow Behaviour of Polymer Melts / M. Schmidt, E. Wassner, H. Munstedt // Mechanics of Time-Dependent Materials. - 1999. - V. 3. - P. 371-393.
22. Kosheleva, K.B. Modeling of the Three-Dimensional Flow of Polymer Melt in a Convergent Channel of Rectangular Cross-Section / K.B. Kosheleva, G.V. Pyshnograib, M.Yu. Tolstykhc // Fluid Dynamics. - 2015. - V. 50. - P. 315-321.