Note on Exact Factorization Algorithm for Matrix Polynomials

Существуют два основных препятствия для широкого использования метода факторизации Винера - Хопфа для матриц-функций, используемых для решения векторных краевых задач Римана. Первое препятствие связано с отсутствием общего явного метода факторизации в матричном случае, хотя для конкретных классов матричных функций могут существовать явные (конструктивные) методы факторизации. Второе препятствие является следствием того, что факторизация матриц-функций, вообще говоря, является неустойчивой по отношению к малому возмущению исходной функции. В результате последнего, реализация любого конструктивного алгоритма, даже если он существует для данной матрицы-функции, на практике не может быть осуществлена. Более того, разрабатывая явные методы, авторы часто не анализируют его численную реализацию, неявно предполагая, что все шаги предложенного конструктивного алгоритма могут быть выполнены точно. В предлагаемой работе мы продолжаем изучение связи между явным и точным решениями задачи факторизации в классе матричных многочленов. Основная цель – получить алгоритм точного вычисления так называемых индексов и существенных многочленов конечной последовательности матриц. Это краеугольный камень проблемы точной факторизации матричных многочленов.

Ключевые слова

факторизация Винера – Хопфа; теплицевы матрицы; существенные многочлены последовательности.

Литература

1. Lawrie J.B., Abrahams I.D. A Brief Historical Perspective of the Wiener-Hopf Technique. Journal of Engineering Mathematics, 2007, vol. 59, pp. 351-358. DOI: 10.1007/s10665-007-9195-x
2. Daniele V.G., Zich R.S. The Wiener-Hopf Method in Electromagnetics. ISMB Series. New York, SciTech Publishing, Edison, 2014.
3. Abrahams I.D. On the Application of the Wiener-Hopf Technique to Problems in Dynamic Elasticity. Wave Motion, 2002, vol. 36, pp. 311-333.
4. Kisil A.V., Abrahams I.D., Mishuris G. et al. The Wiener-Hopf Technique, its Generalizations and Applications: Constructive and Approximate Methods. Proceedings of the Royal Society A, 2021, vol. 477, no. 2254, article ID: 20210533, 32 p. DOI: 10.1098/rspa.2021.0533
5. Gohberg I.C., Feldman I.A. Convolution Equations and Projection Methods for their Solution. Providence, American Mathematical Society, 1974.
6. Clancey K., Gohberg I. Factorization of Matrix Functions and Singular Integral Operators. Basel, Boston, Birk"auser, 1987.
7. Zakharov V.E., Manakov S.V., Novikov S.P. et.al. Soliton Theory: Inverse Scattering Method, 1980, Nauka, Moscow.
8. Gohberg I.C., M.A. Kaashoek M.A., Spitkovsky I.M. An Overview of Matrix Factorization Theory and Operator Applications, Operator Theory: Advances and Applications, 2003, vol. 141, pp. 1-102.
9. Ephremidze L., Janashia G., Lagvilava E., A New Method of Matrix Spectral Factorization. IEEE Transactions on Information Theory, 2011, vol. 57, no. 4, pp. 2318 - 2326.
10. Gohberg I.C., Lerer L., Rodman L. Factorization Indices for Matrix Polynomials. Bulletin of the American Mathematical Society, 1978, vol. 84, no. 2, pp. 275-277.
11. Adukov V.M. Factorization of Analytic Matrix-Valued Functions. Theoretical and Mathematical Physics, 1999, vol. 118, no. 3, pp. 255-263. DOI: 10.4213/tmf704
12. Adukov V.M. Wiener-Hopf Factorization of Meromorphic Matrix-Valued Functions. St. Petersburg Mathematical Journal, 1993, vol. 4, no. 1, pp. 51-69.
13. Rogosin S.V., Mishuris G. Constructive Methods for Factorization of Matrix Functions. IMA Journal of Applied Mathematics, 2016, vol. 81, no. 2, pp. 365-391. DOI: 10.1093/imamat/hxv038
14. Giorgadze G, Manjavidze N. On Some Constructive Methods for the Matrix Riemann-Hilbert Boundary Value Problem. Journal of Mathematical Sciences, 2013, vol. 195, no.2, pp. 146-174. DOI: 10.1007/s10958-013-1571-7
15. Kisil A.V. Stability Analysis of Matrix Wiener-Hopf Factorization of Daniele-Khrapkov Class and Reliable Approximate Factorization. Proceedings of the Royal Society A, 2015, vol. 471, article ID: 20150146, 15 p. DOI: 10.1098/rspa.2015.0146
16. Adukov V.M., Adukova N.V., Mishuris G. An Explicit Wiener-Hopf Factorization Algorithm for Matrix Polynomials and Its Exact Realizations within ExactMPF Package. Proceedings of the Royal Society A, 2022, vol. 478, no. 2263, article ID: 20210941, 22 p. DOI: 10.1098/rspa.2021.0941
17. Adukov V.M. Generalized Inversion of Block Toeplitz Matrices. Linear Algebra and Its Applications, 1998, vol. 274, pp. 85-124.
18. Adukova N.V. ExactMPF Package for Constructing the Exact Wiener-Hopf Factorization of Matrix Polynomials in SCM Maple. Proceedings of the XXII International Scientific Conference ''Computer Mathematics Systems and their Applications'', Smolensk, 2021, vol. 22, pp. 20-27. (in Russian)