Travelling Breaking Waves

Исследуется математическая модель прибрежных волн в приближении мелкой воды. Модель содержит два эмпирических параметра. Первый контролирует турбулентную диссипацию. Второй отвечает за турбулентную вязкость и определяется турбулентным числом Рейнольдса. Мы изучаем решения бегущих волн для этой модели. Показано существование аналитического и численного решения задачи в виде бегущей волны. Описаны особые точки системы. Показано, что существует критическое значение числа Рейнолса, соответствующее переходу от монотонного профиля к колебательному. Работа организована следующим образом. Во-первых, мы представляем основную систему обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) для бегущих волн. Во-вторых, выводится функция Ляпунова для соответствующей системы ОДУ. Наконец, обсуждается поведение решения системы ОДУ.

Ключевые слова

уравнение мелкой воды; функция Ляпунова; число Рейнольдса; решение бегущей волны.

Литература

1. Salmon R. Lectures on Geophysical Fluid Mechanics. New York, Oxford, Oxford University Press, 1998.
2. Stoker J.J. Water Waves: the Mathematical Theory with Applications. New York, Interscience, 1957.
3. Lannes D. The Water Waves Problem: Mathematical Analysis and Asymptotics. Providence, American Mathematical Society, 2013. DOI: 10.1090/surv/188
4. Whitham G.B. Linear and Nonlinear Waves. New York, John Wiley and Sons, 1974.
5. Cienfuegos R., Barthelemy E., Bonneton P. Wave-Breaking Model for Boussinesq-Type Equations Including Roller Effects in the Mass Conservation Equation. Journal of Waterway, Port, Coastal and Ocean Engineering, 2010, vol. 136, no. 1, pp. 10-26. DOI: 10.1061/AASCEWW.1943-5460.0000022
6. Freeman J.C., Lemehaute B. Wave Breakers on a Beach and Surges in a Dry Bed. Journal of Hydraulic Engineering, 1964, vol. 90, pp. 187-216.
7. Karambas T.V., Tozer N.P. Breaking Waves in the Surf and Swash Zone. Journal of Coastal Research, 2003, vol. 19, pp. 514-528. DOI: 10.2307/4299194
8. Kazakova M., Richard G.L. A New Model of Shoaling and Breaking Waves: One-Dimensional Solitary Wave on a Mild Sloping Beach. Journal of Fluid Mechanics, 2019, vol. 862, pp. 552-591. DOI: 10.1017/jfm.2018.947
9. Richard G.L., Duran A., Fabr`eges B. A New Model of Shoaling and Breaking Waves: Part 2. Run-up and Two-Dimensional Waves. Journal of Fluid Mechanics, 2019, vol. 867, pp. 146-194. DOI: 10.1017/jfm.2019.125
10. Richard G.L., Gavrilyuk S.L. A New Model of Roll Waves: Comparison with Brock's Experiments. Journal of Fluid Mechanics, 2012, vol. 698, pp. 374-405. DOI: 10.1017/jfm.2012.96
11. Richard G.L., Gavrilyuk S.L. The Classical Hydraulic Jump in a Model of Shear Shallow-Water Flows. Journal of Fluid Mechanics, 2013, vol. 725, pp. 492-521. DOI: 10.1017/jfm.2013.174
12. Richard G.L., Gavrilyuk S.L. Modelling Turbulence Generation in Solitary Waves on Shear Shallow Water Flows. Journal of Fluid Mechanics, 2015, vol. 773, pp. 49-74. DOI: 10.1017/jfm.2015.236
13. Gavrilyuk S.L., Liapidevskii V.Yu., Chesnokov A.A. Spilling Breakers in Shallow Water: Applications to Favre Waves and to the Shoaling and Breaking of Solitary Wave. Journal of Fluid Mechanics, 2016, vol. 808, pp. 441-468. DOI: 10.1017/jfm.2016.662
14. Chesnokov A.A., Gavrilyuk S.L., Liapidevskii V.Yu. Mixing and Nonlinear Internal Waves in a Shallow Flow of a Three-Layer Stratified Fluid. Physics of Fluids, 2022, vol. 34, no. 7, article ID: 075104, 16 p. DOI: 10.1063/5.0093754