Solution of the Cauchy Problem for Ordinary Differential Equations Using the Collocation and Least Squares Method with the Pade Approximation

Предложен и реализован новый способ решения задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения методом коллокации и наименьших квадратов повышенной точности. Он основан на выводе приближенного нелинейного уравнения многоточечной аппроксимацией рассматриваемой задачи. Приближенное решение задачи в виде аппроксимации Паде сводится к итерационному решению линейной задачи наименьших квадратов относительно коэффициентов искомой дробно-рациональной функции. В случае нелинейных дифференциальных уравнений применяется их предварительная линеаризация. Показано значительное превосходство по точности предложенного в работе способа решения задачи над точностью процедуры NDSolve системы Mathematica. На решении конкретного примера показано превосходство по точности предложенного способа над методом Рунге - Кутта четвертого порядка. Приведены примеры решения предложенным способом задачи Коши для линейных и нелинейных уравнений с точностью, близкой к величине ошибок округлений при операциях на компьютере с числами в формате double. Показано, что точность решения задачи существенно зависит от сложности поведения значений правой части уравнения на заданном отрезке. Приведен пример построения сплайна из кусков аппроксимантов Паде на частичных отрезках, на которые разбит заданный отрезок, в случае, когда требуется повысить точность решения.

Ключевые слова

задача Коши; обыкновенное дифференциальное уравнение; аппроксимация Паде; метод коллокации и наименьших квадратов; повышенная точность; система Mathematica.

Литература

1. Baker, G.A.Jr. Essentials of Pade Approximants / G.A.Jr. Baker. - New York: Academic Press, 1975.
2. Гончар, А.А. О сходимости совместных аппроксимаций Паде для систем функций марковского типа / А.А. Гончар, Е.А. Рахманов // Труды Математического института имени В.А. Стеклова. - 1981. - Т. 157. - С. 31-48.
3. Гончар, А.А. Равновесные распределения и скорость рациональной аппроксимации аналитической функции / А.А. Гончар, Е.А. Рахманов // Математический сборник. - 1987. - Т. 134(176), № 3. - С. 306-352.
4. Гончар, А.А. Многоточечные аппроксимации Паде / А.А. Гончар, Н.Н. Новикова, Г.М. Хенкин // Математический сборник. - 1996. - Т. 187, № 12. - С. 57-86.
5. Суетин, С.П. Аппроксимации Паде и эффективное аналитическое продолжение степенного ряда / С.П. Суетин // Успехи математических наук. - 2002. - Т. 157, № 1. - С. 45-142.
6. Гончар, А.А. Рациональные аппроксимации аналитических функций / А.А. Гончар // Современные проблемы математики. - 2003. - № 1. - С. 83-106.
7. Аптекарев, А.И. Аппроксимации Паде, непрерывные дроби и ортогональные многочлены / А.И. Аптекарев, В.И. Буслаев, А. Мартинес-Финкельштейн, С.П. Суетин // Успехи математических наук. - 2011. - Т. 66, № 6. - С. 37-122.
8. Хованский, А.Н. Приложение цепных дробей и их обобщений к вопросам приближенного анализа. М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1956.
9. Величко, И.Г. Применение метода цепных дробей для получения аппроксимаций Паде решений задач Коши для дифференциальных уравнений первого порядка / И.Г. Величко, И.Г. Ткаченко, В.В. Балабанова // Вестник науки и образования Северо-Запада России. - 2015. - Т. 1, № 3. - С. 1-9.
10. Вишневский, В.Э. Аппроксимация Паде решения задачи Коши / В.Э. Вишневский, А.В. Зубов, О.А. Иванова // Вестник Санкт-Петербургского университета. Прикладная математика, серия 10. - 2012. - № 4. - С. 3-17.
11. Исаев, В.И. Варианты метода коллокаций и наименьших квадратов повышенной точности для численного решения уравнений Навье-Стокса / В.И. Исаев, В.П. Шапеев // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 2010. - Т. 50, № 10. - С. 1758-1770.
12. Shapeev, V.P. CAS Application to the Construction of the Collocations and Least Residuals Method for the Solution of the Burgers and Korteweg-de Vries-Burgers Equations / V.P. Shapeev, E.V. Vorozhtsov // International Workshop on Computer Algebra in Scientific Computing. Warsaw, 2014. - V. 8660. - P. 432-446.
13. Шапеев, В.П. Варианты метода коллокации и наименьших невязок повышенной точности в области с криволинейной границей / В.П. Шапеев,В.A. Беляев // Вычислительные технологии. - 2016. - Т. 21, № 5. - С. 95-110.
14. Belyaev, V.A. Versions of the Collocation and Least Squares Method for Solving Biharmonic Equations in Non-Canonical Domains / V.A. Belyaev, V.P. Shapeev // AIP Conference Proceedings. - 2017. - V. 1893, № 1. - Article ID: 030102.
15. Shapeev, V.P. New Possibilities and Applications of the Least Squares Collocation Method / V.P. Shapeev, V.A. Belyaev, S.K. Golushko, S.V. Idimeshev // EPJ Web of Conferences. - 2018. - V. 173. - Article ID: 01012.
16. Vorozhtsov, E.V. On the Efficiency of Combining Different Methods for Acceleration of Iterations at the Solution of PDEs by the Method of Collocations and Least Residuals / E.V. Vorozhtsov, V.P. Shapeev // Applied Mathematics and Computation. - 2019. - V. 363. - P. 1-19.
17. Shapeev, V.P. High-Accuracy Numerical Solution of the Second-Kind Integral Equations in the Mathematica Environment / V.P. Shapeev, E.V. Vorozhtsov // Journal of Multidisciplinary. Engineering Science and Technology. - 2018. - V. 5, № 12. - P. 9308-9319.
18. Дьяконов, В.П. Mathematica 5/6/7. Полное руководство / В.П. Дьяконов. - М.: ДМК Пресс, 2010.