The Flux Recovering at the Ecosystem-Atmosphere Boundary by Inverse Modelling

Мы рассматриваем модели тепломассопереноса в квазистационарном случае, т.е. все коэффициенты и данные зависят от времени, но производная по времени в уравнении отсутствует. Исследуется обратная задача восстановления потока на границе области по заданным значениям решения в наборе точек, лежащим внутри области. Поток ищется в виде конечного отрезка ряда Фурье, с неизвестными коэффициентами. Задача определения коэффициентов сводится с помощью специальных решений сопряженной задачи к системе алгебраических уравнений. Исходное уравнение рассматривается в цилиндрической пространственной области. Это выбор сделан в силу того, что этот случай, как правило рассматривается в приложениях. Доказана теоремы существования и единственности решений прямой задачи. Полученные результаты используются в доказательстве соответствующих результатов для обратной задачи. В трехмерном случае строится численный алгоритм и приводятся результаты численных экспериментов. Показывается, что алгоритм устойчив к случайным возмущениям данных. Используется метод конечных элементов. Результаты могут быть использованы, например, в задачах определения потоков парниковых газов из почвы по данным замерам концентраций.

Ключевые слова

обратная задача; параболическое уравнение; поток; тепломассоперенос.

Литература

1. Glagolev, M.V. Determination of Gas Exchange on the Border between Ecosystem and Atmosphere: Inverse Modeling / M.V. Glagolev, A.F. Sabrekov // Mathematical Biology and Bioinformatics. - 2012. - V. 7, № 1. - P. 81-101.
2. Сабреков, А.Ф. Определение удельного потока метана из почвы с помощью обратного моделирования на основе сопряженных уравнений / А.Ф. Сабреков, М.В. Глаголев, И.Е. Терентьева // Доклады Международной конференции "Математическая биология и биоинформатика". - Пущино, 2018. - T. 7. - Article ID: e94.
3. Белолипецкий, В.М. Оценка потока углерода между атмосферой и наземной экосистемой по измеренным на вышке вертикальным распределениям концентраций СО_2 / В.М. Белолипецкий, П.В. Белолипецкий // Вестник НГУ. Серия: Информационные технологии. - 2011. - Т. 9, № 1. - C. 75-81.
4. Яговкина, С.В. Оценки потоков метана в атмосферу с территории газовых месторождений севера Западной Сибири с использованием трехмерной региональной модели переноса / С.В. Яговкина, И.Л. Кароль, В.А. Зубов, В.Е. Лагун, А.И. Решетников, Е.В. Розанов // Метеорология и гидрология. - 2003. - № 4. - C. 49-62.
5. Бородулин, А.И. Определение эмиссии болотного метана по измеренным значениям его концентрации в приземном слое атмосферы / А.И. Бородулин, Б.Д. Десятков, Г.А. Махов, С.Р. Сарманаев // Метеорология и гидрология. - 1997. - № 1. - С. 66-74.
6. Бородулин, А.И. Статистические характеристики потока метана, выделяемого заболоченной подстилающей поверхностью / А.И. Бородулин, Г.А. Махов, Б.Д. Десятков, С.Р. Сарманаев // Доклады академии наук. - 1996. - Т. 349, № 2. - С. 256-258.
7. Бородулин, А.И. О распределении потока метана над заболоченной местностью / А.И. Бородулин, Г.А. Махов, С.Р. Сарманаев, Б.Д. Десятков // Метеорология и гидрология. - 1995. - № 11. - С. 72-79.
8. Берлянд, М.Е. Прогноз и регулирование загрязнения атмосферы / М.Е. Берлянд. - Ленинград: Гидрометеоиздат: 1985.
9. Onyango, T.M. Restoring Boundary Conditions in Heat Conduction / T.M. Onyango, D.B. Ingham, D. Lesnic // Journal of Engineering Mathematics. - 2007. - V. 62. - P. 85-101.
10. Hussein, M.S. Simultaneous Determination of Time-Dependent Coefficients in the Heat Equation / M.S. Hussein, D. Lesnic, M.I. Ivanchov // Computers and Mathematics with Applications. - 2014. - V. 67, № 5. - P. 1065-1091.
11. Kostin, A.B. Some Problems of Restoring the Roundary Condition for a Parabolic Equation, II / A.B. Kostin, A.I. Prilepko // Differential Equations. - 1996. - V. 32, № 11. - P. 1515-1525.
12. Kostin, A.B. On Some Problems of Restoration of a Boundary Condition for a Parabolic Equation, I. / A.B. Kostin, A.I. Prilepko // Differential Equations. - 1996, - V. 32, № 1. - P. 113-122.
13. Pyatkov, S.G. Determination of the Heat Transfer Coefficient in Mathematical Models of Heat and Mass Transfer / S.G. Pyatkov, V.A. Baranchuk // Mathematical Notes. - 2023. - V. 113, № 1. - P. 93-108.
14. Pyatkov, S.G. Existence and Uniqueness Theorems in the Inverse Problem of Recovering Surface Fluxes from Pointwise Measurements / S.G. Pyatkov, D. Shilenkov // Mathematics. - 2022. - V. 10, № 9. - Article ID: 1549, 23 p.
15. Wang, Shoubin. Solution to Two-Dimensional Steady Inverse Heat Transfer Problems with Interior Heat Source Based on the Conjugate Gradient Method / Shoubin Wang, Li Zhang, Xiaogang Sun, Huangchao Jia // Mathematical Problems in Engineering. - 2017. - V. 8. - Article ID: 2861342, 9 p.
16. Knupp, D.C. Explicit Boundary Heat Flux Reconstruction Employing Temperature Measurements Regularized via Truncated Eigenfunction Expansions / D.C. Knupp, L.A.S. Abreu // International Communications in Heat and Mass Transfer. - 2016. - V. 78. - P. 241-252.
17. Glagolev, M.V. Inverse Modelling Method for the Determination of the Gas Flux from the Soil / M.V. Glagolev // Environmental Dynamics and Global Climate Change. - 2010. - V. 1, № 1. - P. 17-36.
18. Glagolev, M.V. Methodologies for Measuring Microbial Methane Production and Emission from Soils. A Review / M.V. Glagolev, O.R. Kotsyurbenko, A.F. Sabrekov, Y.V. Litti, I.E. Terentieva // Microbiology. - 2021. - V. 90, № 1. - P. 1-19.
19. Десятков, Б.М. Определение потока аэрозольных частиц, выделяемых подстилающей поверхностью, путем решения обратной задачи их распространения в атмосфере / Б.М. Десятков, А.И. Бородулин, С.С. Котлярова // Оптика атмосферы и океана. - 1997. - Т. 10, № 06. - С. 639-644.
20. Глаголев, М.В. О методе "обратной задачи" измерения интенсивности газообмена на границе почва/атмосфера / М.В. Глаголев, А.Ф. Сабреков // Болота и биосфера: Материалы VII Всероссийской с международным участием научной школы. - Томск, 2010. - C. 31-35.
21. Marchuk, G.I. Mathematical Models in Environmental Problems. Studies in Mathematics and its Applications / G.I. Marchuk. - V. 16. - Amsterdam: Elsevier Science Publishers, 1986.
22. Triebel, H. Interpolation Theory. Function Spaces. Differential Operators / H. Triebel. - Berlin: VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, 1978.
23. Amann, H. Compact Embeddings of Vector-Valued Sobolev and Besov Spaces / H. Amann // Glasnik Matematicki. - 2000. - V. 35(55). - P. 161-177.
24. Denk, R. R-Boundedness, Fourier Multipliers, and Problems of Elliptic and Parabolic Type / R. Denk, M. Hieber, J. Pruss // Memoirs of the American Mathematical Society. - 2003. - V. 166, № 788. - P. 1-114.
25. Grisvard, P. Equations Differentielles Abstraites / P. Grisvard // Annales Scientifiques de l'Ecole Normale Superieure. - 1969. - V. 2, № 3. - P. 311-395.
26. Amann, H. Nonautonomous Parabolic Equations Involving Measures / H. Amann // Journal of Mathematical Sciences. - 2005. - V. 130, № 4. - P. 4780-4802.
27. Ciarlet, P.G. The Finite Element Method for Elliptic Problems / P.G. Ciarlet. - Amsterdam: Noth-Holland Publishing Company, 1978.