On the Method of Numerical Simulation of Limit Reachable Sets for Linear Discrete-Time Systems with Bounded Control

В данной работе разработан метод для линейных дискретных систем, который основан на принципе сжимающих отображений. Этот метод предназначен для построения внешней оценки предельного множества достижимости, что является частой задачей в теории управления и анализе динамических систем. Применение принципа сжимающих отображений позволяет обеспечить возможность получения оценки с произвольным порядком точности в смысле расстояния Хаусдорфа. С другой стороны, предельная точка с точностью до замыкания должна совпасть с предельным множеством достижимости. Значение коэффициента сжатия зависит от выбора нормы в пространстве векторов, что, соответственно, влияет на значение расстояния Хаусдорфа в пространстве компактов и операторную норму матрицы системы. Для демонстрации возможностей предложенного метода представлен пример трехмерной системы с действительными собственными значениями. Также представлен пример применения метода для задачи построения предельного множества достижимости в системе демпфирования высотного сооружения в зоне сейсмической активности.

Ключевые слова

дискретная система; предельное множество достижимости; принцип сжимающих отображений; выпуклое множество; полиэдральная аппроксимация.

Литература

1. Ибрагимов, Д.Н. О задаче быстродействия для класса линейных автономных бесконечномерных систем с дискретным временем, ограниченным управлением и вырожденным оператором / Д.Н. Ибрагимов // Автоматика и телемеханика. - 2019. - № 3. - C. 3-25.
2. Colonius, F. Controllability Properties and Invariance Pressure for Linear Discrete-Time Systems / F. Colonius, A.N. Joao Cossich, J. Alexandre Santana // Journal of Dynamics and Differential Equations. - 2022. - № 34. - P. 5-28.
3. Ge, S.S. Reachability and Controllability of Switched Linear Discrete-Time Systems / S.S. Ge, Sun Zhendong, T.H. Lee // IEEE Transactions on Automatic Contr l. - 2001. - V. 46, № 9. - P. 1437-1441.
4. Heemels, W.P. Null Controllability of Discrete-Time Linear Systems with Input and State Constraints / W.P. Heemels, M.K. Camlibel // 47th IEEE Conference on Decision and Control. - Cancun, 2008. - P. 3487-3492.
5. Kaba, M.D. A Spectral Characterization of Controllability for Linear Discrete-Time Systems with Conic Constraints / M.D. Kaba, M.K. Camlibel // SIAM Journal on Control and Optimization. - 2015. - V. 53, № 4. - P. 2350-2372.
6. Benvenuti, L. The Geometry of the Reachability Set for Linear Discrete-Time Systems with Positive Controls / L. Benvenuti, L. Farina // SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications. - 2006. - V. 28, № 2. - P. 306-325.
7. Darup, M.S. On General Relations between Nullcontrollable and Controlled Invariant Sets for Linear Constrained Systems / M.S. Darup, M. Monnigmann // 53rd IEEE Conference on Decision and Control. - Los Angeles, 2014. - P. 6323-6328.
8. Точилин, П.А. О построении невыпуклых аппроксимаций множеств достижимости кусочно-линейных систем / П.А. Точилин // Дифференциальные уравнения. - 2015. - Т. 51, № 11. - С. 1503-1515.
9. Kuntsevich, V.M. Attainability Domains for Linear and Some Classes of Nonlinear Discrete Systems and Their Control / V.M. Kuntsevich, A.B. Kurzhanski // Journal of Automation and Information Science. - 2010. - V. 42, № 1. - P. 1-18.
10. Fucheng, Liao. Optimal Preview Control for Linear Discrete-Time Periodic Systems / Liao Fucheng, Sun Mengyuan, O. Usman // Mathematical Problems in Engineering. - 2019. - № 2. - P. 1-11.
11. Берендакова, А.В. О методе построения внешних оценок предельного множества управляемости для линейной дискретной системы с ограниченным управлением / А.В. Берендакова, Д.Н. Ибрагимов // Автоматика и телемеханика. - 2023. - № 2. - C. 3-34.
12. Ибрагимов, Д.Н. О свойствах предельных множеств управляемости для класса неустойчивых линейных систем с дискретным временем и l_1-ограничениями / Д.Н. Ибрагимов, А.В. Осокин, А.Н. Сиротин, К.И. Сыпало // Известия российской академии наук. Теория и системы управления. - 2022. - № 4. - С. 3-21.
13. Ибрагимов, Д.Н. О некоторых свойствах множеств ограниченной управляемости для стационарных линейных дискретных систем с суммарным ограничением на управление / Д.Н. Ибрагимов, А.Н. Сиротин // Известия российской академии наук. Теория и системы управления. - 2023. - № 6. - С. 3-32.
14. Рокафеллар, Р. Выпуклый анализ / Р. Рокафеллар. - М.: Мир, 1973.
15. Колмогоров, А.Н. Элементы теории функций и функционального анализа / А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин. - М.: Физматлит, 2012.
16. Кроновер, Р.М. Фракталы и хаос в динамических системах / Р.М. Кроновер. - М.: Постмаркет, 2000.
17. Баландин, Д.В. Синтез законов управления на основе линейных матричных неравенств / Д.В. Баландин, М.М. Коган. - М.: Физматлит, 2007.