Solving Parabolic-Hyperbolic Type Differential Equations with Spectral Analysis Method

В работе исследуется дифференциальное уравнение параболо-гиперболического типа с нелокальными граничными и начальными условиями. Для решения задачи используется метод спектрального анализа, позволяющий выразить решение в виде разложения в ряд по собственным функциям соответствующей спектральной задачи. Существование, единственность и устойчивость решения строго устанавливаются с помощью аналитических методов, что обеспечивает корректность задачи. Кроме того, в исследовании тщательно рассматривается проблема малых знаменателей, возникающих при представлении в ряд, и выводятся достаточные условия, гарантирующие их отделение от нуля. Эти результаты вносят вклад в более широкую математическую теорию дифференциальных уравнений смешанного типа, предоставляя ценную информацию об их структурных свойствах. Полученные результаты имеют практическое применение в различных областях физики и техники, в частности при моделировании распространения волн, теплопроводности и связанных с ними динамических процессов. Полученные теоремы гарантируют, что при соответствующих предположениях по заданным данным задача допускает единственное и устойчивое решение, что усиливает ее теоретическую и практическую значимость.

Ключевые слова

уравнение параболо-гиперболического типа; теорема существования и единственности; уравнение в частных производных.

Литература

1. Chaplygin S.A. O gazovykh potokakh [On Gas Streams. PhD Thesis], Moscow, 1902. (in Russian)
2. Gelfand I.M. Some a Questions of Analysis and Differential Equations. American Mathematical Society Translations: Series 2, 1963, vol. 26, pp. 201-219.
3. Uflyand Y.S. Propagation of Oscillations in Composite Electric Lines. Inzherno-Fizicheskii Zhurnal, 1964, vol. 7, no. 1, pp. 89-92.
4. Cannon J.R. The One-Dimensional Heat Equations. Cambridge, Cambridge University Press, 1984. DOI: 10.1017/CBO9781139086967
5. Cannon J.R. The Solution of the Heat Equation Subject to the Specification of Energy. Quarterly of Applied Mathematics, 1963, vol. 21, no. 2, pp. 155-160. DOI: 10.1090/QAM/160437
6. Mamedov K.R. An Initial Boundary Value Problem for a Mixed Type Equation in a Rectangular Domain. Lobachevskii Journal of Mathematics, 2021, vol. 42, no. 3, pp. 572-578. DOI: 10.1134/S1995080221030136
7. Karahan D., Mamedov Kh.R. On a Nonlocal Boundary Value Problem for Parabolic-Hyperbolic Type Equation. Note di Matematica, 2023, vol. 43, no. 1, pp. 57-66. DOI: 10.1285/i15900932v43n1p57
8. Dzhuraev T.D. Boundary-Value Problems for Equation of Mixed and Mixed Composite Types. Tashkent, Fan, 1979.
9. Mamedov Kh.R., Kilinc V., Yuldashev T.K. On a Boundary Value Problem with Nonlocal Integral Condition for a Parabolic-Hyperbolic Type Equation. Journal of Contemporary Applied Mathematics, 2021, vol. 11, no. 1, 12 p.
10. Dzhuraev T.D., Sopuev A., Mamajanov M. Boundary Value Problems for Equations of Parabolic Hyperbolic Type. Tashkent, Fan, 1986.
11. Islomov B. Analogues of the Tricomi Problem for an Equation of Mixed Parabolic-Hyperbolic Type with Two Lines and Different order of Degeneracy. Differential Equations, 1991, vol. 27, no. 6, pp. 713-719.
12. Pulkina L.S., Savenkova A.E. A Problem with Nonlocal Integral Conditions of the Second Kind for One-Dimensional Hyperbolic Equation. Journal of Samara State Technical University, Series: Physical and Mathematical Sciences, 2016, vol. 20, no. 2, pp. 276-289. DOI: 10.14498/vsgtu1480
13. Ionkin N.I. Solution of a Boundary Value Problem in Heat Conduction with a Non-Classical Boundary Condition. Differential Equations, 1977, vol. 13, no. 2, pp. 294-304.
14. Sabitov K.B. Initial Boundary Value Problem for Hyperbolic-Parabolic Equation. Russian Mathematics (Izvestiya VUZ. Matematika), 2015, vol. 59, no. 6, pp. 23-33. DOI: 10.3103/S1066369X15060055
15. Ladizhenskaya O.A., Stupyalis L. On Mixed Type Equations. Vestnik Leningradsky University. Series: Mathematics. Mechanics. Astronomy, 1965, vol. 19, no. 4, pp. 38-46.
16. Naimark M.A. Linear Differential Operators. New York, Frederick Ungar, 1967.