Решение двумерных интегральных уравнений фредгольма второго рода методом коллокации и наименьших квадратов с полиномиальной аппроксимацией

Для численного решения двумерного интегрального уравнения Фредгольма второго рода предложен новый алгоритм на основе метода коллокации и наименьших квадратов с полиномиальной аппроксимацией. В нем решение отыскивается в виде полиномиального аппроксиманта с неопределенными коэффициентами, после подстановки которого в изначальное уравнение получается приближенное относительно искомых коэффициентов уравнение. Для его решения применяется метод коллокации, причем число точек коллокации берется чаще всего больше числа коэффициентов искомого аппроксиманта. Коллокациями полученного уравнения получается переопределенная система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) относительно искомых коэффициентов. Предложенный алгоритм реализован в компьютерной программе. Его применением решен ряд уравнений, решенных другими методами и приведенных в известных публикациях. Сравнением численных результатов показано преимущество по точности нового алгоритма перед другими методами, примененными для решения этих уравнений. В численных экспериментах исследовано влияние параметров метода на обусловленность переопределенных СЛАУ, решением которых отыскиваются полиномиальные аппроксимации решения интегральных уравнений. В таблицах численных результатов приведены значения параметров алгоритма, с которыми получены конкретные решения: степень аппроксимирующего полинома, число ячеек и узлов квадратуры Гаусса, степень переопределенности и обусловленность матрицы СЛАУ.

Ключевые слова

двумерные интегральные уравнения Фредгольма второго рода; прямой метод; квадратуры Гаусса; метод коллокации; линейная задача наименьших квадратов; обусловленность СЛАУ.

Литература

1. Михлин, С.Г. Приложения интегральных уравнений к некоторым проблемам механики, математической физики и техники / С.Г. Михлин. - М.: Государственное изд-во технико-теоретической литературы, 1947.
2. Schafer, H. Novel Approach to the Analysis of Broadband Dielectric Spectra / H. Schafer, E. Sternin, R. Stannarius, M. Arndt, F. Kremer // Physical Review Letters. - 1996. - V. 76, № 12. - P. 2177-2180.
3. Daddi-Moussa-Ider, A. Asymmetric Stokes Flow Induced by a Transverse Point Force Acting near a Finite-Sized Elastic Membrane / A. Daddi-Moussa-Ider // Journal of the Physical Society of Japan. - 2020. - V. 89. - 11 p.
4. Тихонов, А.Н. Уравнения математической физики / А.Н. Тихонов, А.А. Самарский. - М.: Наука, 1972.
5. Калиткин, Н.Н. Численные методы / Н.Н. Калиткин. - М.: Наука, 1978.
6. Верлань, А.Ф. Интегральные уравнения: методы, алгоритмы, программы / А.Ф. Верлань, В.С. Сизиков. - Киев: Наукова думка, 1986.
7. Baker, C.T.H. The Numerical Treatment of Integral Equations / C.T.H. Baker. - Oxford; New York: Clarendon Press, 1977.
8. Тихонов, А.Н. О решении некорректно поставленных задач и методе регуляризации / А.Н. Тихонов // Доклады Академии наук СССР. - 1963. - Т. 151, № 3. - С. 501-504.
9. Honerkamp, J. Tikhonovs Regularization Method for Ill-Posed Problems / J. Honerkamp, J. Weese // Continuum Mechanics and Thermodynamics. - 1990. - V. 2, № 1. - P. 17-30.
10. Шапеев, В.П. P-версия метода коллокации решения интегральных уравнений Фредгольма второго рода в среде Mathematica / В.П. Шапеев, Е.В. Ворожцов // Вычислительные методы и программирование. - 2019. - Т. 20, № 1. - С. 1-11.
11. Шапеев, В.П. Решение задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений методом коллокации и наименьших квадратов с аппроксимацией Паде / В.П. Шапеев // Вестник ЮУрГУ. Серия: Математическое моделирование и программирование. - 2023. - Т. 16, № 4. - С. 71-83.
12. Исаев, В.И. Варианты метода коллокаций и наименьших квадратов повышенной точности для численного решения уравнений Навье - Стокса / В.И. Исаев, В.П. Шапеев // Журнал вычислительной математики и математической физике. - 2010. - Т. 50, № 10. - С. 1758-1770.
13. Деммель, Дж. Вычислительная линейная алгебра. Теория и приложения / Дж. Деммель. - М.: Мир, 2001.
14. Ascher, U. A Collocation Solver for Mixed order Systems of Boundary Value Problems / U. Ascher, J. Christiansen, R.D. Russel // Mathematics of Computation. - 1979. - V. 33, № 146. - P. 659-679.
15. Ворожцов, Е.В. О комбинировании различных методов ускорения при итерационном решении уравнений с частными производными методом коллокаций и наименьших невязок / Е.В. Ворожцов, В.П. Шапеев // Моделирование и анализ информационных систем. - 2017. - Т. 24, № 1. - С. 39-63.
16. Беляев, В.А. Решение с повышенной точностью бигармонического уравнения в нерегулярных областях методом коллокации и наименьших квадратов / В.А. Беляев, В.П. Шапеев // Вычислительные методы и программирование. - 2018. - Т. 19, № 4. - С. 340-355.
17. Bo-nan Jiang. The Least-Squares Finite Element Method: Theory and Applications in Computational Fluid Dynamics and Electromagnetics / Jiang Bo-nan. - Berlin; Heidelberg: Springer, 1998.
18. Флетчер, К. Численные методы на основе метода Галеркина / К. Флетчер. - М.: Мир, 1988.
19. Tari, A. A Computational Method for Solving Two-Dimensional Linear Fredholm Integral Equations of Second Kind / A. Tari, S. Shahmorad // The ANZIAM Journal. - 2008. - V. 49, № 4. - P. 543-549.
20. Ma Yanying. A Novel Numerical Method of Two-Dimensional Fredholm Integral Equations of the Second Kind / Ma Yanying, Jin Huang, Hu Li // Mathematical Problems in Engineering. - 2015. - V. 2015, № 21-24. - 9 p.