On the Mathematical Model of the Control Problem for a Pseudo-Parabolic Equation with Involution

В данной работе рассматривается математическая модель задачи управления для псевдопараболического уравнения с инволюцией в ограниченной двумерной области. Приводится решение с функцией управления на границе рассматриваемой области. Ограничения на управление определяются таким образом, чтобы среднее значение решения внутри рассматриваемой области достигало заданного значения. Начально-краевая задача решается методом Фурье, а рассматриваемая задача управления анализируется с помощью интегрального уравнения Вольтерра второго рода. Существование допустимого управления доказывается методом преобразования Лапласа.

Ключевые слова

псевдопараболическое уравнение; математическая модель; краевая задача; интегральное уравнение Вольтерра; допустимое управление; преобразование Лапласа; инволюция.

Литература

1. Coleman, B.D. An Approximation Theorem for Functionals, with Applications in Continuum Mechanics / B.D. Coleman, W. Noll // Archive for Rational Mechanics and Analysis. - 1960. - V. 6. - P. 355-370.
2. Chen, P.J. On a Theory of Heat Conduction Involving Two Temperatures / P.J. Chen, M. Gurtin // Zeitschrift fur angewandte mathematik und physik. - 1968. - V. 19. - P. 614-627.
3. Milne, E.A. The Diffusion of Imprisoned Radiation Through a Gas / E.A. Milne // Journal of the London Mathematical Society. - 1926. - V. 1, № 1. - P. 40-51.
4. White, L.W. Controllability Properties of Pseudo-Parabolic Boundary Control Problems / L.W. White // SIAM Journal on Control and Optimization. - 1980. - V. 18, № 5. - P. 534-539.
5. Coleman, B.D. Instability, Uniqueness, and Nonexistence Theorems for the Equation on a Strip / B.D. Coleman, R.J. Duffin, V.J. Mizel // Archive for Rational Mechanics and Analysis. - 1965. - V. 19. - P. 100-116.
6. White, L.W. Point Control of Pseudoparabolic Problems / L.W. White // Journal of Differential Equations. - 1981. - V. 42 - P. 366-374.
7. Fattorini, H.O. Time-Optimal Control of Solutions of Operational Differential Equation / H.O. Fattorini // Journal of the Society for Industrial and Applied Mathematics Series A Control. - 1964. - V. 2, № 1. - P. 49-65.
8. Friedman, A. Partial Differential Equations of Parabolic Type / A. Friedman. - New York: Dover Publications, 1964.
9. Егоров, Ю.В. Оптимальное управление в банаховом пространстве / Ю.В. Егоров // Доклады Академии наук СССР. - 1963. - Т. 150, № 2. - C. 241-244.
10. Albeverio, S. On One Time-Optimal Control Problem Associated with the Heat Exchange Process / S. Albeverio, Sh.A. Alimov // Applied Mathematics and Optimization. - 2008. - V. 57, № 1. - P. 58-68.
11. Alimov, Sh.A. Determining the Thermal Mode Setting Parameters Based on Output Data / Sh.A. Alimov, N.M. Komilov // Partial Differential Equations. - 2022. - V. 58, № 1. - P. 21-35.
12. Дехконов, Ф.Н. О проблеме управления, связанной с процессом нагрева / Ф.Н. Дехконов // Математические заметки СВФУ. - 2022. - V. 29, № 4.- P. 62-71.
13. Chen Ning. Time-Varying Bang-Bang Property of Time Optimal Controls for Heat Equation and Its Applications / Chen Ning, Yanqing Wang, Dong-Hui Yang // Systems and Control Letters. - 2018. - V. 112. - P. 18-23.
14. Фаязова, З.К. Граничное управление процессом теплообмена в пространстве / З.К. Фаязова // Известия вузов. Математика. - 2019. - Т. 63, № 12. - С. 82-90.
15. Dekhkonov, F.N. Boundary Control Problem for the Heat Transfer Equation Associated with Heating Process of a Rod / F.N. Dekhkonov // Bulletin of the Karaganda University. Mathematics Series. - 2023. - V. 110, № 2. - P. 63-71.
16. Dekhkonov, F.N. Boundary Control Associated with a Parabolic Equation / F.N. Dekhkonov // Journal of Mathematics and Computer Science. - 2024. - V. 33, № 2. - P. 146-154.
17. Dekhkonov, F.N. On the Time-Optimal Control Problem Associated with the Heating Process of a Thin Rod / F.N. Dekhkonov, E.I. Kuchkorov // Lobachevskii Journal of Mathematics. - 2023. - V. 44, № 3. - P. 1134-1144.
18. Lions, J.L. Contr'ole optimal de syst'emes gouvern'es par des 'equations aux d'eriv'ees partielles / J.L. Lions. - Paris: Dunod Gauthier-Villars, 1968.
19. Фурсиков, А.В. Оптимальное управление распределенными системами. Теория и приложения / А.В. Фурсиков. - Новосибирск: Научная книга, 1999.
20. Altmuller A. Distributed and Boundary Model Predictive Control for the Heat Equation / A. Altmuller, L. Gr"une // University of Bayreuth. - 2012. - V. 35, № 2. - P. 131-145.
21. Dubljevic, S. Predictive Control of Parabolic PDEs with Boundary Control Actuation / S. Dubljevic, P.D. Christofides // Chemical Engineering Science. - 2006. - V. 61, № 18. - P. 6239-6248.
22. Mussirepova, E. The Inverse Problem for the Heat Equation with Reflection of the Argument and with a Complex Coefficient / E. Mussirepova, A. Sarsenbi, A. Sarsenbi // Bound Value Problems. - 2022. - V. 1. - Article ID: 99. - 13 p.
23. Kopzhassarova, A. Basis Properties of Eigenfunctions of Second-Order Differential Operators with Involution / A. Kopzhassarova, A. Sarsenbi // Abstract and Applied Analysis. - 2012. - Article ID: 576843. - 6 p.
24. Ahmad, B. An Inverse Problem for Space and Time Fractional Evolution Equations with an Involution Perturbation / B. Ahmad, A. Alsaedi, M. Kirane, R. Tapdigoglu // Quaestiones Mathematicae. - 2017. - V. 40, № 2. - P. 151-160.
25. Dekhkonov, F.N. On the Control Problem Associated with a Pseudo-Parabolic Type Equation in an One-Dimensional Domain / F.N. Dekhkonov // International Journal of Applied Mathematics. - 2024. - V. 37, № 1. - P. 109-118.
26. Dekhkonov, F.N. On a Boundary Control Problem for a Pseudo-Parabolic Equation / F.N. Dekhkonov // Communications in Analysis and Mechanics. - 2023. - V. 15, № 2. - P. 289-299.
27. Cabada, A. General Results for Differential Equations with Involutions / A. Cabada, F.A.F. Tojo // Differential Equations with Involutions. - Paris: Atlantis Press, 2015. - P. 17-23.
28. Carleman, T. Sur la Theorie des Equations Integrales et ses Applications / T. Carleman // Verhandlungen des internationalen mathematiker-kongresses. - 1932. - P. 138-151.
29. Wiener, J. Generalized Solutions of Functional-Differential Equations / J. Wiener. - Singapore: World Scientic Publishing, 1999.