О постановке граничных условий при решении задач гидродинамики в переменных завихренность - функция тока

При решении задачи Навье - Стокса в переменных завихренность - функция тока вычислитель всегда сталкивается с проблемой, заключающейся в переопределенности граничных условий для функции тока и их отсутствием для функции завихренности. Классический подход в решении этой проблемы заключается в постройке на границе области дополнительного дифференциального оператора для искомых функций, из решения которого можно определить промежуточные граничные условия для функции завихренности. Несмотря на достигнутые значимые успехи в реализации данного подхода, он имеет два серьезных недостатка. Во-первых, он требует построения дифференциального оператора, нормального к границе в каждом граничном узле расчетной области, что существенно усложняет алгоритмы для задач с криволинейными границами. Во-вторых, он порождает дополнительный итерационный процесс даже при решении линейной задачи Стокса.
В работе предлагается новый алгоритм, позволяющий определять граничные условия в методе конечных элементов при решении задач гидродинамики в переменных завихренность – функция тока. В предлагаемом алгоритме граничные значения для завихренности на произвольном невырожденном контуре границы расчетной области
определяются из уравнения для функций тока, записанных в слабой интегральной форме, учитывающей условия Неймана для функции тока на границе области. Алгоритм не требует построения на контуре области дополнительных разностных операторов для получения граничных условий задачи и позволяет при использовании
векторной формулировки задачи решать задачу Стокса за одну итерацию. При решении задач Навье – Стокса в векторной формулировке метод позволяет получить на каждом шаге по времени/нелинейности согласованные поля завихренности и функции
тока, что позволяет контролировать процессы сходимости решаемой задачи. Стабильность работы предложенного алгоритма подтверждается проведенными численными экспериментами.

Ключевые слова

вынужденная конвекция; слабая формулировка задачи; граничные условия; функция тока – завихренность; метод конечных элементов.

Литература

1. Agarwal, R.К. A Third-Order-Accurate Upwind Scheme for Navier-Stokes Solutions at High Reynolds Numbers / R.К. Agarwal // AIAA-81-0112 Paper. - 1981. - 14 p.
2. Роуч, П. Вычислительная гидродинамика / П. Роуч. - М.: Мир, 1980.
3. Ghia, U. High-Re Solutions for Incompressible Flow Using the Navier-Stokes Equations and a Multigrid Method / U. Ghia, K.N. Ghia, C.T. Shin // Journal of Computational Physics. - 1982. - V. 48, № 3. - P. 387-411.
4. Тарунин, Е.Л. Анализ аппроксимационных формул для вихря скорости на твердой границе / Е.Л. Тарунин // Ученые записки Пермского государственного педагогического института. Гидродинамика. - 1976. - № 152, вып. 9. - С. 167-178.
5. Захаренков, М.Н. Проблемы моделирования отрывного обтекания тел вязкой несжимаемой жидкостью / М.Н. Захаренков // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 1998. - Т. 38, № 5. - С. 840-854.
6. Мазо, А.Б. Вычислительная гидродинамика. Ч. 2. Сеточные схемы метода конечных элементов / А.Б. Мазо. - Казань: Казанский университет, 2018.
7. Шатров, О.А. Опыт использования метода Гаусса для решения разностных уравнений Навье-Стокса в переменных "функция тока - вихрь" / О.А. Шатров, О.В. Щерица, О.С. Мажорова // Препринты ИПМ им. М.В. Келдыша. - 2017. - № 50. - 24 с.
8. Потапов, И.И. Модель установившегося течения реки в поперечном сечении изогнутого русла / И.И. Потапов, Д.И. Потапов // Компьютерные исследования и моделирование. - 2024. - Т. 16, № 5. - С. 1163-1178.
9. Потапов, И.И. О движении речного потока в сечении изогнутого русла / И.И. Потапов, Д.И. Потапов, К.С. Королева // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные Науки. Механика. - 2024. - Т. 34, № 4. - С. 1-18.
10. Булгаков, В.К. Противопоточные конечно-элементные схемы высокого порядка для задачи теплопереноса / В.К. Булгаков, И.И. Потапов // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 2003. - Т. 43, № 9. - C. 1409-1413.
11. Шабров, Н.Н. Метод конечных элементов в расчетах деталей тепловых двигателей / Н.Н. Шабров. - Л.: Машиностроение, 1983.
12. Nallasamy, M. On Cavity Flow at High Reynolds Numbers / M. Nallasamy, K.K. Prasad // Journal Fluid Mechanics. - 1977. - V. 79. - P. 391-414.