Inverse Problem of Recovering Fluxes from Integral Data

В статье рассматриваются параболическое уравнение второго порядка и вопросы корректности обратных задач восстановления теплового потока на границе с использованием набора интегралов от решения c весами по области. Поток представим в виде конечного отрезка ряда с неизвестными коэффициентами, зависящими от времени. При определенных условиях на данные показано, что существует единственное решение задачи, которое непрерывно зависит от данных. Решение имеет все обобщенные производные, входящие в уравнение, суммируемые c некоторой степенью. Доказательство опирается на априорные оценки и принцип сжимающих отображений. Метод конструктивен и позволяет строить численные методы решения задачи. Численный алгоритм основан на методах конечных элементов и конечных разностей. Результаты численных экспериментов вполне удовлетворительны, а процедура построения решения устойчива при малых возмущениях.

Ключевые слова

обратная задача; граничная задача; параболическое уравнение; тепломассоперенос.

Литература

1. Алифанов, О.М. Обратные задачи исследования сложной теплопередачи / О.М. Алифанов, Е.А. Артюхин, А.В. Ненарокомов. - М.: Янус-К, 2009.
2. Пермяков, П.П. Восстановление граничных условий для моделирования для моделирования теплообмена на поверхности грунта / П.П. Пермяков, Т.А. Афанасьева, С.П. Варламов, П.Н. Скрябин // Арктика XXI век. Гуманитарные науки. - 2019. - Т. 17, № 1. - С. 27-35.
3. Пермяков, П.П. Идентификация параметров математической модели тепловлагопереноса в мерзлых грунтах / П.П. Пермяков. - Новосибирск: Наука, 1989.
4. Сабреков, А.Ф. Определение удельного потока метана из почвы с помощью обратного моделирования на основе сопряженных уравнений / А.Ф. Сабреков, М.В. Глаголев, И.Е. Терентьева // Доклады Международной конференции "Математическая биология и биоинформатика". - 2018. - Т. 7. - V. e94.
5. Белолипецкий, В.М. Оценка потока углерода между атмосферой и наземной экосистемой по измеренным на вышке вертикальным распределениям концентраций $CO_{2}$ / В.М. Белолипецкий, П.В. Белолипецкий // Вестник Новосибирского государственного университета. Серия: Информационные технологии. - 2011. - Т. 9, № 1. - С. 75-81.
6. Pyatkov, S.G. Determination of the Heat Transfer Coefficient in Mathematical Models of Heat and Mass Transfer / S.G. Pyatkov, V.A. Baranchuk // Mathematical Notes. - 2023. - V. 113, № 1. - P. 93-108.
7. Пятков, С.Г. Идентификация граничного условия в задачах тепломассопереноса / С.Г. Пятков, В.А. Баранчук // Челябинский физико-математический журнал. - 2022. - Т. 7, № 2. - C. 234-253.
8. Pyatkov, S.G. The Well-Posed Identification of the Interface Heat Transfer Coefficient Using an Inverse Heat Conduction Model / S.G. Pyatkov, A.A. Potapkov // Mathematics. - 2023. - V. 11, № 23. - P. 4739.
9. Kostin, A.B. On Some Problems of the Reconstruction of a Boundary Condition for a Parabolic Equation. II. / A.B. Kostin, A.I. Prilepko // Differential Equations. - 1996. - V. 32, № 11. - P. 1515-1525.
10. Kostin, A.B. On Some Problems of the Reconstruction of a Boundary Condition for a Parabolic Equation. I. / A.B. Kostin, A.I. Prilepko // Differential Equations. - 1996. - V. 32, № 1. - P. 113-122.
11. Pilant, M. An Iteration Method for the Determination of an Unknown Boundary Condition in a Parabolic Initial-Boundary Value Problem / M. Pilant, W. Rundell // Proceedings of the Edinburgh Mathematical Society. - 1989. - V. 32. - P. 59-71.
12. Hao Dinh Nho. Determination of the Heat Transfer Coefficients in Transient Heat Conduction / Nho Hao Dihn, Phan Xuan Thanh, D. Lesnik // Inverse Problems. - 2013. - V. 29, № 9. - P. 095020.
13. Hao Dinh Nho. Identification of Nonlinear Heat Transfer Laws from Boundary Observations / Dinh Nho Hao, Bui Veit Huong, Phan Xuan Thanh, D. Lesnik // Applicable Analysis. - 2014. - V. 94, № 9. - P. 1784-1799.
14. Kozhanov, A.I. Linear Inverse Problems for Some Classes of Nonlinear Nonstationary Equations / A.I. Kozhanov // Siberian Electronic Reports. - 2015. - V. 12. - P. 264-275.
15. Вержбицкий, М.А. О некоторых обратных задачах восстановления граничных режимов / М.А. Вержбицкий, С.Г. Пятков // Математические заметки СВФУ. - 2016. - Т. 23, № 2. - C. 3-18.
16. Triebel, H. Interpolation Theory. Function Spaces. Differential Operators / H. Triebel. - Berlin: Veb Deutscher Verlag des Wissenschaften, 1978.
17. Denk, R. Optimal L_p-L_q-Estimates for Parabolic Boundary Value Problems with Inhomogenous Data / R. Denk, M. Hieber, J. Pruess // Mathematische zeitschrift. - 2007. - V. 257, № 1. - P. 193-224.
18. Amann, H. Compact Embeddings of Vector-Valued Sobolev and Besov Spaces / H. Amann // Glasnik matematicki. - 2000. - V. 35, № 1. - P. 161-177.
19. Ladyzhenskaya, O.A. Linear and Quasi-Linear Equations of Parabolic Type / O.A. Ladyzhenskaya, V.A. Solonnikov, N.N. Ural'tseva. - Providence: AMS. - V. 23, 1968.
20. Behzadan A. Multiplication in Sobolev Spaces, Revisited. / A. Behzadan, M. Holst // Arkiv for Matematik. - 2021. - V. 59. - P. 275-306.
21. Meyries, M. Maximal Regularity with Temporal Weights for Parabolic Problems with Inhomogeneous Boundary Conditions / M. Meyries, R. Schnaubert // Mathematische nachrichten. - 2012. - V. 285, № 8-9. - P. 1032-1051.
22. Hummel, F. Elliptic and Parabolic Boundary Value Problems in Weighted Function Spaces / F. Hummel, N. Lindemulder // Potential Analysis. - 2022. - V. 57. - P. 601-669.
23. Grisvard, P. Equations Differentielles Abstraites / P. Grisvard // Annales scientifiques de l'Ecole normale superieure, 4^e series. - 1969. - V. 2. - P. 311-395.
24. Besov, O.V. Integral Representations of Functions and Imbedding Theorems / O.V. Besov, V.P. Il'in, S.M Nikol'skii. - Palm Beach: V.H. Winston, 1978.