Особенности фазового многообразия одного уравнения соболевского типа

Проблема неединственности решения задачи Коши является одним из фундаментальных вызовов в теории дифференциальных уравнений, демонстрируя, что даже при кажущейся полноте постановки дальнейшая эволюция системы может быть непредсказуема. В случае вырожденных нелинейных моделей математической физики также возможно существование неединственности решении начальной задачи и возникновение сборок Уитни в фазовых многообразиях. Исследованы вопросы неединственности решений начально-краевых задач для уравнений, относящихся к полулинейным уравнениям соболевского типа, и связи неединственности решений задачи с существованием в фазовом многообразии уравнения сборок и складок Уитни. Изучена математическая модель Хоффа и выявлены условия накладываемые на параметры уравнения, при которых фазовое многообразие имеет особенности, и существует несколько решений задачи Шоуолтера - Сидорова в случае, когда размерность ядра оператора при производной по времени является произвольной.

Ключевые слова

уравнения соболевского типа; сборка Уитни; метод фазового пространства.

Литература

1. Захаров, С.В. Сингулярные асимптотики в задаче Коши для параболического уравнения с малым параметром / С.В. Захаров // Труды ИММ УрО РАН. - 2015. - Т. 21, № 1. - С. 97-104.
2. Sa Teles, de R. Generalized Semiflows for a Plate Model with Presumed Nonuniqueness of Solution / R. de Sa Teles // Rocky Mountain Journal of Mathematics. - 2019. - V. 49, № 6. - P. 2047-2061.
3. Бокарева, Т.А. Сборки Уитни фазовых пространств некоторых полулинейных уравнений типа Соболева / Т.А. Бокарева, Г.А. Свиридюк // Математические заметки. - 1994. - Т. 55, № 3. - С. 3-10.
4. Замышляева, А.А. Неклассические уравнения математической физики. Линейные уравнения соболевского типа высокого порядка / А.А. Замышляева, Г.А. Свиридюк // Вестник ЮУрГУ. Серия: Математика. Механика. Физика. - 2016. - Т. 8, № 4. - С. 5-16.
5. Манакова, Н.А. Полулинейные модели соболевского типа. Неединственность решения задачи Шоуолтера - Сидорова / Н.А. Манакова, О.В. Гаврилова, К.В. Перевозчикова // Вестник ЮУрГУ. Серия: Математическое моделирование и программирование. - 2022. - Т. 15, № 1. - С. 84-100.
6. Hoff, N.J. Creep Buckling / N.J. Hoff // Journal of the Aeronautical! Science. - 1956. - № 7. - P. 1-20.
7. Загребина, С.А. Многоточечная начально-конечная задача для линейной модели Хоффа / С.А. Загребина // Вестник ЮУрГУ. Серия: Математическое моделирование и программирование. - 2012. - № 11. - С. 4-12.
8. Николаева, Н.Г. Исследование единственности решения задачи Шоуолтера – Сидорова для математической модели Хоффа. Морфология фазового пространства / Н.Г. Николаева, О.В. Гаврилова, Н.А. Манакова // Вестник ЮУрГУ. Серия: Математическое моделирование и программирование. - 2024. - Т. 17, № 1. - С. 49-63.
9. Сидоров, Н.А. О применении некоторых результатов теории ветвления при решении дифференциальных уравнений с вырождением / Н.А. Сидоров, О.А. Романова // Дифференциальные уравнения. - 1983. - Т. 19, № 9. - C. 1516-1526.
10. Свиридюк, Г.А. Фазовое пространство начально-краевой задачи для уравнения Хоффа / Г.А. Свиридюк, В.О. Казак // Математические заметки. - 2002. - Т. 71, № 2. - С. 292-297.
11. Свиридюк, Г.А. Сборка Уитни в фазовом пространстве уравнения Хоффа / Г.А. Свиридюк, И.К. Тринеева // Известия вузов. Математика. - 2005. - № 10. - С. 54-60.
12. Свиридюк, Г.А. Задача Шоуолтера - Сидорова как феномен уравнений соболевского типа / Г.А. Свиридюк, С.А. Загребина // Известия Иркутского государственного университета. Серия: Математика. - 2010. - Т. 3, № 1. - С. 104-125.
13. Свиридюк, Г.А. Фазовые пространства одного класса операторных полулинейных уравнений типа Соболева / Г.А. Свиридюк, Т.Г. Сукачева // Дифференциальные уравнения. - 1990. - Т. 26, № 2. - C. 250-258.
14. Гильмутдинова, А.Ф. О неединственности решений задачи Шоуолтера – Сидорова для одной модели Плотникова / А.Ф. Гильмутдинова // Вестник СамГУ. - 2007. - № 9. - С. 85-90.
15. Свиридюк, Г.А. О складке фазового пространства одного неклассического уравнения / Г.А. Свиридюк, А.Ф. Карамова // Дифференциальные уравнения. - 2005. - Т. 41, № 10. - С. 1476-1581.
16. Арнольд, В.И. Теория катастроф / В.И. Арнольд. - М.: Наука, 1990.
17. Гилмор, Р. Прикладная теория катастроф / Р. Гилмор. - М.: Мир, 1988.
18. Том, Р. Структурная устойчивость и морфогенез / Р. Том. - М.: Логос, 2002.
19. Манакова, Н.А. Неклассические уравнения математической физики. Фазовые пространства полулинейных уравнений соболевского типа / Н.А. Манакова, Г.А. Свиридюк // Вестник ЮУрГУ. Серия: Математика. Механика. Физика. - 2016. - Т. 8, № 3. - С. 31-51.