Combined Runge-Kutta and Piecewise Constant Argument Methods for Nonlinear Systems of Differential Equations

Разработан подход, сочетающий метод кусочно-постоянного аргумента и метод Рунге - Кутты, для решения нелинейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. С использованием коэффициентов метода Рунге - Кутты седьмого порядка строится дифференциальное уравнение с кусочно-постоянным аргументом, соответствующее рассматриваемой задаче Коши и зависящее от целого положительного числа N. Доказано, что это уравнение имеет единственное кусочно-гладкое решение, которое при больших значениях N служит приближенным решением исходной задачи Коши. Эффективность предложенного метода продемонстрирована на ряде численных примеров, показавших более высокую точность и скорость сходимости по сравнению с методом коллокации на основе вейвлетов Хаара высокого порядка и другими методами, описанными в литературе.

Ключевые слова

обыкновенное дифференциальное уравнение; кусочно-постоянный аргумент; приближенное решение; метод Рунге - Кутты; абсолютная погрешность.

Литература

1. Qingtan Meng, Qian Ma, Yang Shi. Adaptive Fixed-Time Stabilization for a Class of Uncertain Nonlinear Systems. IEEE Transactions on Automatic Control, 2023, vol. 68, no. 11, pp. 6929-6936.
2. Zill D.G. Advanced Engineering Mathematics. Burlington, Jones and Bartlett Learning, 2016, 1024 p.
3. Kreyszig E., Stroud K., Stephenson G. Advanced Engineering Mathematics. Integration, 2008, vol. 9, no. 4, 1014 p.
4. Kurnaz A., Oturanc G. The Differential Transform Approximation for the System of Ordinary Differential Equations. International Journal of Computer Mathematics, 2005, vol. 82, no. 6, pp. 709-719. DOI: 10.1080/00207160512331329050
5. Ahsan M., Weidong Lei, Bohner M., Khan A.A. A High-Order Multi-Resolution Wavelet Method for Nonlinear Systems of Differential Equations. Mathematics and Computers in Simulation, 2024, vol. 215, pp. 543-559. DOI: 10.1016/j.matcom.2023.08.032
6. Aziz I., Islam S., Khan F. A New Method Based on Haar Wavelet for the Numerical Solution of Two-Dimensional Nonlinear Integral Equations. Journal of Computational and Applied Mathematics, 2014, vol. 272, pp. 70-80. DOI: 10.1016/j.cam.2014.04.027
7. Reddy J.N. Numerical Methods, Finite Element. Encyclopedia of Solid Earth Geophysics, 2020, pp. 1-4. DOI: 10.1007/978-3-030-10475-7_37-1
8. Zaheer-ud-Din, Ahsan M., Ahmad M. et al. Meshless Analysis of Nonlocal Boundary Value Problems in Anisotropic and Inhomogeneous Media. Mathematics, 2020, vol. 8, no. 11, article ID: 2045. DOI: 10.3390/math8112045
9. Zhuojia Fu, Zhuochao Tang, Qiang Xi et al. Localized Collocation Schemes and Their Applications. Acta Mechanica Sinica, 2022, vol. 38, article ID: 422167. DOI: 10.1007/s10409-022-22167-x
10. Wacker B., Schluter J.C. Qualitative Analysis of Two Systems of Nonlinear First-Order Ordinary Differential Equations for Biological Systems. Mathematical Methods in the Applied Sciences, 2022, vol. 45, no. 8, pp. 4597-4624. DOI: 10.1002/mma.8056
11. Qiang Xi, Xinzhi Liu. Finite-Time Stability and Controller Design for a Class of Hybrid Dynamical Systems with Deviating Argument. Nonlinear Analysis: Hybrid Systems, 2021, vol. 39, article ID: 100952. DOI: 10.1016/j.nahs.2020.100952
12. Sunday J., Shokri A., Marian D. Variable Step Hybrid Block Method for the Approximation of Kepler Problem. Fractal and Fractional, 2022, vol. 6, no. 6, article ID: 343. DOI: 10.3390/fractalfract6060343
13. Muminov M.I., Jumaev Z.Z. On the Approximation Algorithms for Solving Generalized Bernoulli Differential Equations Using Piecewise Constant Argument Method. International Journal of Applied and Computational Mathematics, 2025, vol. 11, no. 2, article ID: 45. DOI: 10.1007/s40819-025-01855-4
14. Ramos H., Singh G. A Note on Variable Step-Size Formulation of a Simpson's-Type Second Derivative Block Method for Solving Stiff Systems. Applied Mathematics Letters, 2017, vol. 64, pp. 101-107. DOI: 10.1016/j.aml.2016.08.012
15. Trikkaliotis G.D., Gousidou-Koutita M.C. Production of the Reduction Formula of Seventh Order Runge-Kutta Method with Step Size Control of an Ordinary Differential Equation. Applied Mathematics, 2022, vol. 13, no. 4, pp. 325-337. DOI: 10.4236/am.2022.134023
16. Verner J.H. Explicit Runge-Kutta Methods with Estimates of the Local Truncation Error. SIAM Journal on Numerical Analysis, 1978, vol. 15, no. 4, pp. 772-790.
17. Aziz I., Yasmeen S., Tsukrejev P. Numerical Solution of Stiff ODEs Using Non-Uniform Haar Wavelets. AIP Conference Proceedings, 2019, vol. 2116, no. 1, article ID: 330008. DOI: 10.1063/1.5114346
18. Ibrahim Z.B., Amiratul A.N. A Class of Hybrid Multistep Block Methods with A-Stability for the Numerical Solution of Stiff Ordinary Differential Equations. Mathematics, 2020, vol. 8, no. 6, article ID: 914. DOI: 10.3390/math8060914